Scheda di allenamento

Allenamento sui criteri di congruenza

Geometriageometria-euclidea8 eserciziIntroduttivo – Avanzato

Questa scheda riprende il linguaggio degli assiomi e allena il riconoscimento dei criteri LAL, LLL e ALA. Prima di applicare un criterio, scrivi sempre le corrispondenze tra i vertici.

Termini, assiomi e teoremi

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RagionamentoLivello 1

Classifica ciascuna frase come definizione, assioma oppure proposizione:

  1. Un triangolo ha tre lati.
  2. Per due punti distinti passa una sola retta.
  3. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.

Chiediti se la frase stabilisce un significato, viene accettata come punto di partenza oppure deve essere dimostrata.

  1. È una definizione: stabilisce che cosa intendiamo per triangolo.
  2. È un assioma del sistema geometrico.
  3. È una proposizione: si dimostra, per esempio, confrontando il triangolo con sé stesso letto nell'ordine inverso e applicando LAL.

Leggere l'ordine dei vertici

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RagionamentoLivello 1

Se \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\), completa le corrispondenze: \(A\leftrightarrow\_\_\), \(B\leftrightarrow\_\_\), \(C\leftrightarrow\_\_\), \(AC\leftrightarrow\_\_\) e \(\angle B\leftrightarrow\_\_\).

La posizione delle lettere nella scrittura della congruenza è già l'ordine della corrispondenza.

$ A\leftrightarrow D,\qquad B\leftrightarrow E,\qquad C\leftrightarrow F. $

Quindi \(AC\leftrightarrow DF\) e \(\angle B\leftrightarrow\angle E\).

Riconoscere LAL

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RagionamentoLivello 2

Per i triangoli \(ABC\) e \(DEF\) sono dati \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\) e \(\angle ABC \cong \angle DEF\). Indica il criterio e scrivi la conclusione.

L'angolo in \(B\) è formato proprio dai lati \(BA\) e \(BC\); controlla la stessa proprietà nell'altro triangolo.

L'angolo \(\angle ABC\) è compreso tra \(AB\) e \(BC\), mentre \(\angle DEF\) è compreso tra \(DE\) e \(EF\). Il criterio è LAL e la corrispondenza è \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\). Pertanto

$ \triangle ABC \cong \triangle DEF. $

Due lati e angolo non compreso

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vero/falsoLivello 2

Vero o falso? «Se \(AB \cong DE\), \(AC \cong DF\) e \(\angle ABC \cong \angle DEF\), allora i triangoli \(ABC\) e \(DEF\) sono congruenti per LAL». Motiva.

In \(\triangle ABC\), l'angolo compreso tra \(AB\) e \(AC\) è quello con vertice \(A\), non quello con vertice \(B\).

Falso. I lati dati sono \(AB\) e \(AC\), ma l'angolo dato è \(\angle ABC\): non è compreso tra quei due lati. I dati hanno forma SSA e non autorizzano a usare LAL; in generale possono determinare due triangoli diversi.

Riconoscere LLL

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RagionamentoLivello 2

Sono dati \(AB \cong PQ\), \(BC \cong QR\) e \(AC \cong PR\). Quale criterio puoi applicare? Scrivi la corrispondenza dei vertici.

Confronta le coppie \(AB\leftrightarrow PQ\) e \(BC\leftrightarrow QR\): i vertici comuni ai due lati sono rispettivamente \(B\) e \(Q\).

Sono congruenti tutti e tre i lati, quindi il criterio è LLL. Dalle coppie di lati segue

$ A\leftrightarrow P,\qquad B\leftrightarrow Q,\qquad C\leftrightarrow R, $

perciò \(\triangle ABC\cong\triangle PQR\).

Riconoscere ALA

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RagionamentoLivello 3

Per i triangoli \(ABC\) e \(DEF\) sono dati \(\angle ABC\cong\angle DEF\), \(BC\cong EF\) e \(\angle BCA\cong\angle DFE\). Indica il criterio e la corrispondenza.

Il lato \(BC\) è tra gli angoli con vertici \(B\) e \(C\). Cerca il lato corrispondente tra gli angoli con vertici \(E\) e \(F\).

Il lato è compreso tra i due angoli dati in entrambi i triangoli. Il criterio è ALA. La corrispondenza è \(B\leftrightarrow E\), \(C\leftrightarrow F\) e \(A\leftrightarrow D\), dunque

$ \triangle ABC\cong\triangle DEF. $

Dimostrare la proprietà del triangolo isoscele

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DimostrazioneLivello 3

Nel triangolo \(ABC\) vale \(AB\cong AC\). Dimostra che \(\angle ABC\cong\angle ACB\) confrontando \(\triangle ABC\) con \(\triangle ACB\).

Usa come angolo compreso il medesimo angolo in \(A\) e scrivi le tre corrispondenze LAL nell'ordine corretto.

Confrontiamo \(\triangle ABC\) con \(\triangle ACB\). Vale:

  • \(AB\cong AC\) per ipotesi;
  • \(\angle BAC\cong\angle CAB\) perché è lo stesso angolo;
  • \(AC\cong AB\) per simmetria della congruenza.

Quindi i triangoli sono congruenti per LAL. Nella corrispondenza \(B\leftrightarrow C\), perciò gli angoli corrispondenti soddisfano

$ \angle ABC\cong\angle ACB. $

Bisettrice e perpendicolare nella simmetria

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DimostrazioneLivello 4

Nel triangolo isoscele \(ABC\) vale \(AB\cong AC\) e \(M\) è il punto medio di \(BC\). Dimostra che \(AM\) è perpendicolare a \(BC\). Suggerimento: confronta \(\triangle ABM\) e \(\triangle ACM\) e usa il fatto che \(B,M,C\) sono allineati.

Nei due triangoli hai \(AB\cong AC\), \(BM\cong MC\) e \(AM\) in comune. Dopo LLL, gli angoli \(\angle BMA\) e \(\angle AMC\) sono congruenti e insieme formano un angolo piatto.

Nei triangoli \(ABM\) e \(ACM\):

  • \(AB\cong AC\) perché \(ABC\) è isoscele;
  • \(BM\cong MC\) perché \(M\) è il punto medio di \(BC\);
  • \(AM\cong AM\) per riflessività.

Quindi \(\triangle ABM\cong\triangle ACM\) per LLL e \(\angle BMA\cong\angle AMC\). Poiché \(B,M,C\) sono allineati, questi due angoli sono adiacenti e la loro somma è un angolo piatto. Due angoli adiacenti congruenti che formano un angolo piatto sono entrambi retti. Perciò

$ AM\perp BC. $

La scheda è un adattamento editoriale originale di Matematica Libera, Volume 1, capitolo 5, esercizi delle pp. 221–230 (pagine stampate 209–218), con licenza CC BY-SA 4.0.