Scheda di allenamento

Divisione e divisibilità

Algebrainsiemi-numerici16 eserciziIntroduttivo – Avanzato

Divisori con l'algoritmo della divisione

es-nat-003
RagionamentoLivello 1

Stabilisci se \(7\) divide \(253\) e scrivi quoziente e resto.

Cerca \(q\) e \(r\) tali che \(253=7q+r\), con \(0\le r<7\).

Il multiplo di \(7\) più vicino senza superare \(253\) è \(7\cdot36=252\). Dunque \(253=7\cdot36+1.\) Il resto è \(1\), quindi \(7\nmid253\). Quoziente: \(36\); resto: \(1\).

Tutti i divisori

es-nat-004
CalcoloLivello 1

Trova tutti i divisori positivi di \(36\).

Cerca le coppie di fattori e poi scrivi ogni divisore in ordine crescente.

Le coppie di fattori sono:

$ 36=1\cdot36=2\cdot18=3\cdot12=4\cdot9=6\cdot6. $

I divisori positivi di \(36\) sono: \(1,2,3,4,6,9,12,18,36.\)

Quoziente intero e modulo

es-nat-005
CalcoloLivello 1

Calcola \(185\mathbin{\operatorname{div}}7\) e \(185\mathbin{\operatorname{mod}}7\).

Trova il multiplo di \(7\) più grande che non supera \(185\).
$ 185=7\cdot26+3. $

Quindi \(185\mathbin{\operatorname{div}}7=26\) e \(185\mathbin{\operatorname{mod}}7=3\).

Criteri per 4680

es-div-001
RagionamentoLivello 1

Senza eseguire le divisioni, stabilisci per quali numeri tra \(2,3,4,5,6,8,9,10\) è divisibile \(4680\).

Usa l'ultima cifra, le ultime due o tre cifre e la somma delle cifre.

La somma delle cifre è \(4+6+8+0=18\).

  • \(4680\) è divisibile per \(2\) e per \(5\) perché termina con \(0\);
  • è divisibile per \(3\) e per \(9\) perché \(18\) è divisibile per \(3\) e per \(9\);
  • è divisibile per \(4\) perché \(80\) è divisibile per \(4\);
  • è divisibile per \(6\) perché è divisibile per \(2\) e per \(3\);
  • è divisibile per \(8\) perché \(680=8\cdot85\);
  • è divisibile per \(10\) perché termina con \(0\).

Una cifra mancante

es-div-002
RagionamentoLivello 1

Trova le cifre \(x\) per cui il numero \(37x2\) è divisibile sia per \(3\) sia per \(4\).

Per \(4\) guarda \(x2\); per \(3\) calcola \(3+7+x+2\).

Per essere divisibile per \(4\), le ultime due cifre devono essere \(32\) oppure \(92\): quindi \(x\) può essere \(3\) oppure \(9\). In entrambi i casi la somma delle cifre è divisibile per \(3\):

$ 3+7+3+2=15,\qquad 3+7+9+2=21. $

Le cifre cercate sono quindi \(x=3\) e \(x=9\).

Più criteri insieme

es-div-003
RagionamentoLivello 2

Stabilisci quali tra \(2,3,4,5,6,8,9,10\) dividono \(7356\). Non usare la calcolatrice e motiva le risposte.

La somma delle cifre è \(21\) e le ultime cifre sono \(56\) e \(356\).

Il numero è divisibile per:

  • \(2\), perché termina con una cifra pari;
  • \(3\), perché \(7+3+5+6=21\);
  • \(4\), perché \(56\) è divisibile per \(4\);
  • \(6\), perché è divisibile per \(2\) e per \(3\).

Non è divisibile per \(5\) o \(10\) perché non termina per \(0\) o \(5\); non è divisibile per \(9\) perché \(21\) non è multiplo di \(9\); non è divisibile per \(8\) perché \(356\) non è multiplo di \(8\).

Il criterio del 12

es-div-004
RagionamentoLivello 2

Stabilisci se \(312\) è divisibile per \(3\), \(4\), \(6\) e \(12\), usando i criteri senza eseguire le divisioni.

Controlla la somma delle cifre e le ultime due cifre.

La somma delle cifre è \(3+1+2=6\), quindi \(312\) è divisibile per \(3\). Le ultime due cifre formano \(12\), divisibile per \(4\). Di conseguenza è divisibile per \(6\) e per \(12\):

$ 312\mathbin{\operatorname{mod}}3 =312\mathbin{\operatorname{mod}}4 =312\mathbin{\operatorname{mod}}6 =312\mathbin{\operatorname{mod}}12 =0. $

Il criterio del 7

es-div-005
RagionamentoLivello 2

Applica il criterio del \(7\) e stabilisci se \(273\) e \(887\) sono divisibili per \(7\).

Elimina l'ultima cifra e sottrai il doppio della cifra eliminata.

Per \(273\) otteniamo:

$ 27-2\cdot3=21, $

che è divisibile per \(7\). Dunque \(7\mid273\).

Per \(887\) otteniamo:

$ 88-2\cdot7=74, $

che non è divisibile per \(7\). Dunque \(7\nmid887\).

Il criterio dell'11

es-div-006
RagionamentoLivello 2

Usa il criterio dell'\(11\) per stabilire se \(8261\) e \(887\) sono divisibili per \(11\).

Sottrai le somme delle cifre in posizione alterna e considera il valore assoluto.

Per \(8261\):

$ \left|(8+6)-(2+1)\right|=11, $

quindi \(11\mid8261\).

Per \(887\):

$ |(8+7)-8|=7, $

che non è divisibile per \(11\). Quindi \(11\nmid887\).

Numeri primi fino a 30

es-div-007
CalcoloLivello 2

Elenca i numeri primi minori o uguali a \(30\). Puoi usare il crivello di Eratostene: elimina \(1\) e poi i multipli dei primi già trovati.

Dopo \(2\), elimina i pari; poi considera \(3\) e i suoi multipli.

I numeri primi minori o uguali a \(30\) sono:

$ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. $

Il numero \(1\) non compare perché ha un solo divisore positivo.

Primi e coprimi

es-div-008
vero/falsoLivello 2

Indica se le affermazioni sono vere o false e correggi quelle false.

  1. \(8\) e \(15\) sono coprimi.
  2. \(9\) e \(25\) sono coprimi.
  3. \(12\) e \(15\) sono coprimi.
  4. Se due numeri sono coprimi, allora entrambi sono primi.
Cerca il MCD: per essere coprimi deve valere \(\operatorname{MCD}=1\).
  1. Vero: i divisori comuni positivi di \(8\) e \(15\) sono soltanto \(1\).
  2. Vero: \(9=3^2\) e \(25=5^2\), quindi non hanno fattori primi comuni.
  3. Falso: \(3\) divide sia \(12\) sia \(15\), dunque \(\operatorname{MCD}(12,15)=3\).
  4. Falso: \(8\) e \(15\) sono coprimi, ma sono entrambi composti. “Primi tra loro” descrive il loro MCD, non la loro classificazione individuale.

Scomposizione in fattori primi

es-nat-013
CalcoloLivello 2

Scomponi \(540\) in fattori primi.

Dividi prima per \(2\) finché è possibile, poi continua con \(3\) e con \(5\).

Dividiamo successivamente per fattori primi:

$ 540=2\cdot270=2^2\cdot135 =2^2\cdot3\cdot45=2^2\cdot3^2\cdot15 =2^2\cdot3^3\cdot5. $

Quindi

$ \boxed{540=2^2\cdot3^3\cdot5}. $

Due metodi di scomposizione

es-div-009
RagionamentoLivello 3

Scomponi \(630\) in fattori primi usando prima una scomposizione ad albero e poi il metodo sequenziale. Confronta i risultati.

Nell'albero puoi partire da \(63\cdot10\); in sequenza prova \(2\), \(3\), \(5\) e \(7\).

Con l'albero:

$ 630=63\cdot10=(3^2\cdot7)(2\cdot5)=2\cdot3^2\cdot5\cdot7. $

In sequenza:

$ 630=2\cdot315=2\cdot3\cdot105 =2\cdot3^2\cdot35=2\cdot3^2\cdot5\cdot7. $

I percorsi sono diversi, ma la scomposizione in fattori primi è la stessa.

MCD e mcm con due numeri

es-nat-006
CalcoloLivello 3

Calcola \(\operatorname{MCD}(180,252)\) e \(\operatorname{mcm}(180,252)\).

Scomponi entrambi i numeri e usa gli esponenti minimi per il MCD e massimi per il mcm.
$ 180=2^2\cdot3^2\cdot5,\qquad252=2^2\cdot3^2\cdot7. $

I fattori comuni con esponente minore danno:

$ \operatorname{MCD}(180,252)=2^2\cdot3^2=36. $

Prendendo tutti i fattori con esponente massimo otteniamo:

$ \operatorname{mcm}(180,252)=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7=1260. $

MCD e mcm di tre numeri

es-div-010
CalcoloLivello 3

Calcola \(\operatorname{MCD}(180,72,90)\) e \(\operatorname{mcm}(180,72,90)\).

Confronta tutti gli esponenti dei fattori primi presenti nei tre numeri.
$ 180=2^2\cdot3^2\cdot5,\qquad 72=2^3\cdot3^2,\qquad 90=2\cdot3^2\cdot5. $

Il solo fattore comune a tutti è \(2\) con esponente minimo \(1\), insieme a \(3^2\). Perciò

$ \operatorname{MCD}(180,72,90)=2\cdot3^2=18. $

Per il mcm prendiamo ogni fattore con l'esponente massimo:

$ \operatorname{mcm}(180,72,90)=2^3\cdot3^2\cdot5=360. $

Tre partenze sincronizzate

es-div-011
ProblemaLivello 4

Tre funivie partono contemporaneamente. La prima completa il tragitto di andata e ritorno ogni \(15\) minuti, la seconda ogni \(18\) minuti e la terza ogni \(20\) minuti. Dopo quanti minuti partiranno di nuovo insieme?

Cerca il minimo comune multiplo di \(15\), \(18\) e \(20\).

Il primo istante comune è il minimo comune multiplo:

$ 15=3\cdot5,\qquad18=2\cdot3^2,\qquad20=2^2\cdot5, $

quindi

$ \operatorname{mcm}(15,18,20)=2^2\cdot3^2\cdot5=180. $

Le tre funivie partiranno di nuovo insieme dopo 180 minuti, cioè dopo 3 ore.