Equazioni di secondo grado

\(\Delta = 49 - 48 = 1 > 0\)

\(x = \frac{7 \pm 1}{2}\)

\(x_1 = 4\), \(x_2 = 3\).

Soluzioni: \(x = 3\) e \(x = 4\)

\(x^2 = 16\) \(x = \pm\sqrt{16} = \pm 4\)

Soluzioni: \(x = 4\) e \(x = -4\).

Scomponiamo il trinomio:

\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo:

\(x - 2 = 0 \quad\text{oppure}\quad x - 3 = 0\)

Soluzioni: \(x = 2\) e \(x = 3\).

\(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\)

Poiché il discriminante è negativo, l'equazione non ha soluzioni reali.

\(x(x - 5) = 0\)

\(x = 0\) oppure \(x - 5 = 0\), quindi \(x = 5\).

Soluzioni: \(x = 0\) e \(x = 5\).

\(2x(x - 4) = 0\)

\(x = 0\) oppure \(x - 4 = 0\), quindi \(x = 4\).

Soluzioni: \(x = 0\) e \(x = 4\).

Qui \(a=1\), \(b=4\) e \(c=1\). Il discriminante è:

\(\Delta = 4^2 - 4\cdot 1\cdot 1 = 12\)

Pertanto:

\(x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}\)

Soluzioni: \(x=-2+\sqrt{3}\) e \(x=-2-\sqrt{3}\).

Il discriminante vale:

\(\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 3\cdot(-1) = 4 + 12 = 16\)

Quindi:

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}\)

Le due soluzioni sono:

\(x_1 = 1, \qquad x_2 = -\frac{1}{3}\)

Soluzioni: \(x=1\) e \(x=-\frac{1}{3}\).

\(x^2 + 6x = 7\) \(x^2 + 6x + 9 = 16\) \((x + 3)^2 = 16\) \(x + 3 = \pm 4\)

\(x = 1\) oppure \(x = -7\).

Soluzioni: \(x = 1\) e \(x = -7\).

Per \(a=2\), \(b=-7\) e \(c=3\):

\(\Delta = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25\)

Applichiamo la formula risolutiva:

\(x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}\)

Quindi:

\(x_1 = \frac{12}{4} = 3, \qquad x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Soluzioni: \(x=3\) e \(x=\frac{1}{2}\).

Con \(a=2\), \(b=3\) e \(c=-7\) otteniamo:

\(\Delta = 3^2 - 4\cdot 2\cdot(-7) = 9 + 56 = 65\)

La formula risolutiva dà:

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)

Soluzioni: \(x=\frac{-3+\sqrt{65}}{4}\) e \(x=\frac{-3-\sqrt{65}}{4}\).

\(\Delta = (-6)^2 - 4\cdot 5\cdot 1 = 36 - 20 = 16\)

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10}\)

Da qui:

\(x_1 = 1, \qquad x_2 = \frac{1}{5}\)

Soluzioni: \(x=1\) e \(x=\frac{1}{5}\).

\(\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 4\cdot(-3) = 16 + 48 = 64\)

\(x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}\)

Quindi:

\(x_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \qquad x_2 = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}\)

Soluzioni: \(x=\frac{3}{2}\) e \(x=-\frac{1}{2}\).

Scomponiamo il trinomio:

\(x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\)

Per la legge di annullamento del prodotto:

\(x + 4 = 0 \quad\text{oppure}\quad x - 2 = 0\)

Soluzioni: \(x=-4\) e \(x=2\).

\(\Delta = 1^2 - 4\cdot 6\cdot(-2) = 1 + 48 = 49\)

\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-1 \pm 7}{12}\)

Le soluzioni sono:

\(x_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, \qquad x_2 = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}\)

Soluzioni: \(x=\frac{1}{2}\) e \(x=-\frac{2}{3}\).

\(\Delta = 5^2 - 4\cdot 3\cdot(-2) = 25 + 24 = 49\)

\(x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 \pm 7}{6}\)

Quindi:

\(x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{-12}{6} = -2\)

Soluzioni: \(x=\frac{1}{3}\) e \(x=-2\).