Scheda di allenamento

Espressioni, monomi e polinomi

Algebracalcolo-letterale13 eserciziIntroduttivo – Intermedio

Valore numerico

es-alg-009
CalcoloLivello 1

Calcola il valore di \(3x^2-2x+1\) per \(x=2\).

Sostituisci \(2\) al posto di ogni \(x\), poi rispetta l'ordine delle operazioni.
$ 3(2)^2-2(2)+1=3\cdot4-4+1=12-4+1=9. $

Il valore numerico è \(9\).

Coefficiente e grado

es-cal-005
RagionamentoLivello 1

Per il monomio \(-3a^2b^3\) indica coefficiente, parte letterale e grado complessivo.

Somma gli esponenti della parte letterale: \(2+3\).

Il coefficiente è \(-3\), la parte letterale è \(a^2b^3\) e il grado complessivo è

$ 2+3=5. $

Somma di monomi simili

es-alg-012
CalcoloLivello 1

Somma i monomi simili: \(5x^2y+3x^2y-2x^2y\).

Somma i coefficienti e conserva la parte letterale \(x^2y\).
$ (5+3-2)x^2y=6x^2y. $

Risultato: \(6x^2y\).

Termini simili o no

es-cal-006
vero/falsoLivello 1

Vero o falso: \(4x^2y\) e \(-7x^2y\) sono simili, mentre \(4x^2y\) e \(4xy^2\) non sono simili.

Confronta lettere ed esponenti, non soltanto le lettere presenti.

Vero.

Nel primo confronto:

$ x^2y=x^2y, $

quindi \(4x^2y\) e \(-7x^2y\) sono simili. Nel secondo confronto:

$ x^2y\ne xy^2, $

perché gli esponenti sono scambiati; i due monomi non sono simili.

Riduci il polinomio

es-pol-001
CalcoloLivello 1

Riduci in forma normale:

$ 5x^2+3x-2x^2+x-4. $
Raggruppa i termini con \(x^2\), quelli con \(x\) e il termine noto.
$ (5x^2-2x^2)+(3x+x)-4=3x^2+4x-4. $

Il polinomio ridotto in forma normale è \(3x^2+4x-4\) e ha grado \(2\).

Moltiplica monomi

es-cal-007
CalcoloLivello 2

Calcola:

$ (-2x^2y)(3xy^3). $
Moltiplica i coefficienti e somma gli esponenti delle lettere uguali.
$ (-2x^2y)(3xy^3)=(-2\cdot3)x^{2+1}y^{1+3}=-6x^3y^4. $

Potenza di un monomio

es-cal-008
CalcoloLivello 2

Sviluppa \((2a^2b)^3\).

Eleva il coefficiente e moltiplica ogni esponente per \(3\).
$ (2a^2b)^3=2^3a^{2\cdot3}b^3=8a^6b^3. $

Quoziente di monomi

es-cal-009
CalcoloLivello 2

Calcola il quoziente e indica le condizioni di esistenza:

$ \frac{12x^5y^3}{4x^2y}. $
Il divisore non deve essere nullo; poi dividi i coefficienti e sottrai gli esponenti.

Il divisore è diverso da zero quando \(x\ne0\) e \(y\ne0\). In queste condizioni,

$ \frac{12x^5y^3}{4x^2y}=3x^{5-2}y^{3-1}=3x^3y^2. $

Somma e differenza di polinomi

es-cal-010
CalcoloLivello 2

Riduci in forma normale:

$ (3x^2+2x-1)-(x^2-4x+5). $
Cambia il segno a tutti i termini del secondo polinomio prima di sommare.
$ \begin{aligned} (3x^2+2x-1)-(x^2-4x+5) &=3x^2+2x-1-x^2+4x-5\\ &=2x^2+6x-6. \end{aligned} $

Monomio per polinomio

es-cal-011
CalcoloLivello 2

Applica la proprietà distributiva:

$ 2x(3x^2-x+4). $
Moltiplica \(2x\) per ciascuno dei tre termini dentro la parentesi.
$ 2x(3x^2-x+4)=6x^3-2x^2+8x. $

Moltiplica i polinomi

es-pol-002
CalcoloLivello 2

Calcola il prodotto:

$ (x+3)(x-2). $
Moltiplica ogni termine del primo fattore per entrambi i termini del secondo.
$ \begin{aligned} (x+3)(x-2)&=x^2-2x+3x-6\\ &=x^2+x-6. \end{aligned} $

Prodotto notevole

es-cal-012
CalcoloLivello 3

Sviluppa usando la distributività e poi riconosci il prodotto notevole:

$ (2x-3)^2. $
Moltiplica \((2x-3)\) per se stesso oppure usa \(a^2-2ab+b^2\).
$ \begin{aligned} (2x-3)^2&=(2x-3)(2x-3)\\ &=4x^2-6x-6x+9\\ &=4x^2-12x+9. \end{aligned} $

Controllo del grado del prodotto in una variabile

es-pol-003
DimostrazioneLivello 3

Spiega perché, per due polinomi non nulli in una variabile, con coefficienti razionali, il grado del prodotto è la somma dei gradi:

$ \operatorname{grado}(PQ)=\operatorname{grado}(P)+\operatorname{grado}(Q). $
Considera i termini di grado massimo e il loro prodotto.

Siano \(P\) e \(Q\) polinomi non nulli in \(x\), di gradi rispettivamente \(n\) e \(m\). Possiamo scriverli come

$ P=a_nx^n+\cdots,\qquad Q=b_mx^m+\cdots, $

dove i puntini rappresentano gli eventuali termini di grado minore e \(a_n\) e \(b_m\) sono razionali non nulli. Moltiplicando i termini, il solo contributo di grado \(n+m\) è

$ (a_nx^n)(b_mx^m)=a_nb_mx^{n+m}. $

perché ogni altro prodotto coinvolge almeno un termine di grado minore. Inoltre \(a_nb_m\ne0\), dato che il prodotto di due razionali non nulli è non nullo. Dunque il termine di grado \(n+m\) non si annulla e tutti gli altri hanno grado minore. Pertanto

$ \operatorname{grado}(PQ)=n+m. $

Fonte: Matematica Libera, Modulo 3: Calcolo letterale, versione 0.9.9 (2023) — Licenza: CC BY-SA 4.0

Gli esercizi sono una selezione rielaborata dalla sezione 1.6, pp. 26-50 (pp. 34-58 del PDF). La fonte è distribuita con licenza CC BY-SA 4.0.