Scheda di allenamento

Numeri e classificazione

Algebrainsiemi-numerici6 eserciziIntroduttivo – Intermedio

Il più piccolo insieme

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RagionamentoLivello 1

Indica il più piccolo insieme tra \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) a cui appartiene ciascun numero: \(0\), \(8\), \(-3\), \(\frac{2}{5}\).

Prima chiediti se il numero è naturale; se non lo è, controlla se è un intero o se può essere scritto come frazione di interi.

  • \(0\) e \(8\) sono naturali, quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{N}\);
  • \(-3\) è intero ma non naturale, quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{Z}\);
  • \(\frac{2}{5}\) è razionale ma non intero, quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{Q}\).

Gli interi sono razionali

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RagionamentoLivello 1

Scrivi ciascun intero come frazione con denominatore \(1\) e completa la spiegazione: \(-5\), \(0\), \(12\).

Per ogni intero \(n\) usa la forma \(\frac{n}{1}\).

$ -5=\frac{-5}{1},\qquad 0=\frac{0}{1},\qquad 12=\frac{12}{1}. $

Quindi ogni intero è anche razionale: \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\).

Decimali finiti e periodici

es-alg-002
RagionamentoLivello 2

Classifica come razionali i seguenti numeri e, per i primi due, scrivili come frazione: \(1{,}25\), \(-0{,}4\), \(0{,}\overline{3}\), \(2\).

Un decimale finito si trasforma in una frazione con denominatore \(10\), \(100\), ...; un decimale periodico rappresenta un quoziente razionale.

$ 1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4},\qquad -0{,}4=\frac{-4}{10}=\frac{-2}{5}. $

Inoltre \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\) e \(2=\frac{2}{1}\). Tutti sono razionali; il più piccolo insieme per \(2\) è però \(\mathbb{N}\), mentre per \(1{,}25\), \(-0{,}4\) e \(0{,}\overline{3}\) è \(\mathbb{Q}\).

Inclusioni e controesempi

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Vero o falsoLivello 2

Stabilisci se sono vere o false le affermazioni seguenti. Per ogni affermazione falsa, scrivi un controesempio:

a) \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\);

b) \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\);

c) \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}\);

d) \(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Z}\).

Cerca un numero negativo per mettere alla prova c) e una frazione non intera per mettere alla prova d).

a) Vera: ogni naturale è un intero.

b) Vera: \(n=\frac{n}{1}\) per ogni \(n\in\mathbb{Z}\).

c) Falsa: \(-1\in\mathbb{Z}\) ma \(-1\notin\mathbb{N}\).

d) Falsa: \(\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\) ma \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\).

Correggi la classificazione

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RagionamentoLivello 2

Controlla queste classificazioni e correggi quelle imprecise:

  • \(-1\in\mathbb{N}\);
  • \(\frac{6}{3}\) ha come più piccolo insieme \(\mathbb{Q}\);
  • \(\frac{3}{5}\) ha come più piccolo insieme \(\mathbb{Q}\);
  • \(0{,}\overline{6}\) ha come più piccolo insieme \(\mathbb{Z}\).

Riduci le frazioni e trasforma il decimale periodico in una frazione prima di scegliere il più piccolo insieme.

  • \(-1\) è intero ma non naturale: il più piccolo insieme è \(\mathbb{Z}\);
  • \(\frac{6}{3}=2\), quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{N}\);
  • \(\frac{3}{5}\) non è intero, quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{Q}\);
  • \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\), quindi il più piccolo insieme è \(\mathbb{Q}\), non \(\mathbb{Z}\).

La mappa in pratica

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RagionamentoLivello 3

Per ciascun numero indica tutti gli insiemi tra \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) a cui appartiene e poi il più piccolo: \(-\frac{8}{2}\), \(\frac{7}{4}\), \(3\), \(-2{,}5\).

Semplifica \(-\frac{8}{2}\) e ricorda che un intero è sempre anche razionale.

  • \(-\frac{8}{2}=-4\): appartiene a \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\); il più piccolo è \(\mathbb{Z}\);
  • \(\frac{7}{4}\): appartiene solo a \(\mathbb{Q}\) tra i tre insiemi;
  • \(3\): appartiene a \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\); il più piccolo è \(\mathbb{N}\);
  • \(-2{,}5=\frac{-5}{2}\): appartiene solo a \(\mathbb{Q}\) tra i tre insiemi.

Questa scheda è un adattamento editoriale originale di esempi sui numeri naturali, interi e razionali tratti da Matematica Libera volume 1 (2025), di Bruno Stecca e Daniele Zambelli, oltre agli autori di Matematica Dolce; il progetto è coordinato da Daniele Zambelli. Il front matter del volume (PDF, p. 2) dichiara la licenza CC BY-SA 3.0 Italia. Riferimenti: cap. 1, §§ 1.2-1.3 e 1.6.4 (PDF pp. 15-18); cap. 2, §§ 2.1-2.2 (pp. 53-55); cap. 3, §§ 3.1 e 3.4 (pp. 73-78). L'art. 4.b(ii) della licenza fonte permette di distribuire l'opera derivata con una versione successiva dagli stessi elementi: questa scheda è un adattamento editoriale originale distribuito con licenza CC BY-SA 4.0.