Scheda di allenamento

Percentuali, proporzioni e scale

Algebrainsiemi-numerici9 eserciziIntroduttivo – Intermedio

Parti e rapporto

es-rap-001
RagionamentoLivello 1

Una miscela contiene \(3\) parti di succo e \(5\) parti di acqua. Scrivi il rapporto succo:acqua e indica quale frazione della miscela è succo.

Il totale delle parti è la somma delle parti di succo e di acqua.

Il rapporto succo:acqua è \(3:5\). Le parti complessive sono \(3+5=8\), quindi la frazione della miscela costituita da succo è

$ \frac{3}{8}. $

Termine incognito in una proporzione

es-rap-002
CalcoloLivello 1

Completa la proporzione \(4:7=x:35\) e controlla il risultato con il prodotto incrociato.

Scrivi \(4\cdot35=7\cdot x\), poi dividi per \(7\).

Dal prodotto incrociato:

$ 4\cdot35=7\cdot x \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{140}{7}=20. $

Il controllo è \(4:7=20:35\), perché entrambi i rapporti valgono \(\frac{4}{7}\).

Calcolare la parte

es-rap-003
CalcoloLivello 2

Trova il \(12\%\) di \(350\).

Trasforma il \(12\%\) in \(0{,}12\) e moltiplica per il totale.
$ 350\cdot0{,}12=42. $

Il \(12\%\) di \(350\) è \(42\).

Calcolare la percentuale

es-rap-004
CalcoloLivello 2

In un gruppo di \(250\) persone, \(45\) partecipano a un laboratorio. Qual è la percentuale dei partecipanti?

Calcola prima il rapporto tra parte e totale, poi trasformalo in percentuale.
$ \frac{45}{250}=0{,}18=18\%. $

La percentuale dei partecipanti è \(18\%\).

Calcolare il totale

es-nat-007
ProblemaLivello 2

Dopo uno sconto del \(20\%\), un libro costa €28. Qual era il prezzo iniziale?

Il prezzo scontato è l'\(80\%\) del prezzo iniziale.

Indicando con \(P\) il prezzo iniziale, il prezzo dopo lo sconto è \(0{,}80P\):

$ 0{,}80P=28 \quad\Longrightarrow\quad P=\frac{28}{0{,}80}=35. $

Il prezzo iniziale era €35. Non si aggiunge semplicemente il \(20\%\) di €28, perché la percentuale era riferita al prezzo iniziale.

Variazione e punti percentuali

es-rap-005
RagionamentoLivello 3

In un sondaggio il consenso passa dal \(40\%\) al \(55\%\). Calcola l'aumento in punti percentuali e la variazione percentuale rispetto al valore iniziale.

I punti percentuali si ottengono sottraendo le due percentuali; la variazione relativa divide la differenza per il \(40\%\) iniziale.

L'aumento in punti percentuali è

$ 55-40=15\text{ punti percentuali}. $

La variazione percentuale relativa al valore iniziale è

$ \frac{55-40}{40}\cdot100=37{,}5\%. $

Quindi l'aumento è di \(15\) punti percentuali, pari a una crescita relativa del \(37{,}5\%\).

Due variazioni percentuali

es-nat-008
RagionamentoLivello 3

Un prezzo aumenta del \(25\%\) e poi diminuisce del \(20\%\). Confronta il prezzo finale con quello iniziale.

Moltiplica i due fattori di variazione, \(1{,}25\) e \(0{,}80\).

Posto uguale a \(P\) il prezzo iniziale, il prezzo finale è

$ P\cdot1{,}25\cdot0{,}80=P. $

Il prezzo finale coincide con quello iniziale. Le percentuali sono diverse perché la seconda si applica a una base più grande.

Percentuale di sconto

es-rap-006
ProblemaLivello 3

Un paio di scarpe costava €120 e viene venduto a €75. Qual è stata la percentuale di sconto?

Trova prima lo sconto in euro, poi confrontalo con il prezzo iniziale.

Lo sconto è

$ 120-75=45\text{ euro}. $

La percentuale di sconto è

$ \frac{45}{120}=0{,}375=37{,}5\%. $

Lo sconto applicato è del \(37{,}5\%\).

Scala di una carta

es-nat-009
ProblemaLivello 3

Su una carta in scala \(1:50\,000\), due luoghi distano \(7{,}4\) cm. Qual è la distanza reale in chilometri?

Un centimetro sulla carta corrisponde a \(50\,000\) cm reali: converti in chilometri solo dopo la moltiplicazione.

La scala si applica a lunghezze nella stessa unità:

$ 7{,}4\text{ cm}\cdot50\,000=370\,000\text{ cm}. $

Ora convertiamo:

$ 370\,000\text{ cm}=3\,700\text{ m}=3{,}7\text{ km}. $

La distanza reale è \(3{,}7\) km. Scrivere prima \(7{,}4\) cm e poi convertire evita di mescolare centimetri e chilometri nella proporzione.

La fonte principale è Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, versione 1.0.0 (febbraio 2025), di Bruno Stecca, Daniele Zambelli e degli autori di Matematica Dolce: PDF originale, capitolo 3, sezioni 3.7 e 3.9, con esercizi selezionati e adattati dalle pp. 93-97 (PDF pp. 105-109). La scheda è un adattamento editoriale originale distribuito con CC BY-SA 4.0. La fonte dichiara CC BY-SA 3.0 Italia; l'art. 4.b(ii) ammette per l'adattamento una versione successiva con gli stessi elementi della licenza.