Scheda di allenamento

Potenze e prodotti notevoli

Algebracalcolo-letterale8 eserciziIntroduttivo – Avanzato

Vero o falso — Potenza

es-alg-001
Vero o falsoLivello 1

Vero o falso: \((a + b)^2 = a^2 + b^2\)

Prova con \(a = 1\) e \(b = 1\). Calcola entrambi i lati.

Falso.

Controesempio: \(a = 1\), \(b = 1\):

\((1 + 1)^2 = 2^2 = 4\)

\(1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)

Poiché \(4 \neq 2\), l'uguaglianza non è vera.

La formula corretta è: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Somma per differenza

es-alg-006
CalcoloLivello 1

Calcola: \((5x + 3)(5x - 3)\)

Usa la formula \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) con \(a = 5x\) e \(b = 3\).

\((5x + 3)(5x - 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9\)

Risultato: \(25x^2 - 9\)

Quadrato di binomio

es-prod-001
CalcoloLivello 1

Sviluppa il seguente quadrato di binomio:

\((x + 4)^2\)

Usa la formula: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) con \(a = x\) e \(b = 4\).

\((x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16\)

Risultato: \(x^2 + 8x + 16\)

Differenza di quadrati

es-prod-002
CalcoloLivello 1

Semplifica:

\((x + 6)(x - 6)\)

Usa la formula della somma per differenza: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

\((x + 6)(x - 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36\)

Risultato: \(x^2 - 36\)

Riconosci il prodotto notevole

es-alg-004
CalcoloLivello 2

Sviluppa: \((3x - 2)^2\)

È un quadrato di binomio con \(a = 3x\) e \(b = 2\).

\((3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4\)

Risultato: \(9x^2 - 12x + 4\)

Vero o falso — Fattorizzazione

es-alg-007
Vero o falsoLivello 2

Vero o falso: \(x^2 + 4 = (x + 2)(x - 2)\)

Sviluppa il lato destro e confronta.

Falso.

\((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4 \neq x^2 + 4\).

In realtà, \(x^2 + 4\) non si può scomporre sui reali (è una somma di quadrati).

Proprietà potenze

es-alg-008
CalcoloLivello 2

Semplifica: \(\frac{x^5 \cdot x^3}{x^4}\)

Usa \(x^a \cdot x^b = x^{a + b}\) e \(\frac{x ^ a} {x ^ b} = x^{a - b}\).

\(\frac{x^5 \cdot x^3}{x^4} = \frac{x^8}{x^4} = x^4\)

Risultato: \(x^4\)

Cubo di binomio

es-prod-003
CalcoloLivello 4

Sviluppa il cubo di binomio:

\((x + 2)^3\)

Usa la formula: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) con \(a = x\) e \(b = 2\).

\((x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 4 + 8\) \(= x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

Risultato: \(x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)