Punti, distanze e misure

Per ciascun punto indica il quadrante oppure l'asse a cui appartiene: \(P(-3,4)\), \(Q(0,-2)\), \(R(5,0)\) e \(S(-2,-3)\).

Suggerimento 1

Guarda prima il segno dell'ascissa e poi quello dell'ordinata. Se una coordinata è zero, il punto è su un asse.

\(P(-3,4)\) ha segni \((-,+)\), quindi è nel II quadrante;
\(Q(0,-2)\) ha ascissa nulla, quindi è sull'asse \(y\);
\(R(5,0)\) ha ordinata nulla, quindi è sull'asse \(x\);
\(S(-2,-3)\) ha segni \((-,-)\), quindi è nel III quadrante.

Trova le coordinate del punto medio del segmento con estremi \(A(-3,5)\) e \(B(7,-1)\).

Suggerimento 1

Calcola separatamente la media delle ascisse e la media delle ordinate: \(x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\) e \(y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\).

x_M=\frac{-3+7}{2}=2,\qquad y_M=\frac{5+(-1)}{2}=2.

Il punto medio è \(M(2,2)\).

I punti \(A(-6,0)\) e \(B(4,0)\) sono sull'asse \(x\). Trova il punto medio e spiega perché appartiene ancora allo stesso asse.

Suggerimento 1

Applica la formula a entrambe le coordinate. L'ordinata dei due estremi è già zero.

x_M=\frac{-6+4}{2}=-1,\qquad y_M=\frac{0+0}{2}=0.

Quindi \(M(-1,0)\). Poiché la sua ordinata è zero, \(M\) appartiene all'asse \(x\).

Calcola la distanza tra i punti \(A(1,2)\) e \(B(4,6)\).

Suggerimento 1

Le variazioni dei cateti sono \(4-1\) e \(6-2\). Usa poi il teorema di Pitagora.

\begin{aligned} d(A,B)&=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\\ &=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \end{aligned}

La distanza è 5 unità.

Su un asse considera \(A(-7)\) e \(B(2)\). Calcola la differenza orientata \(\mathcal{D}(A,B)\), la differenza orientata \(\mathcal{D}(B,A)\) e la lunghezza \(\mathcal{L}(A,B)\).

Suggerimento 1

La differenza orientata mantiene l'ordine dei punti; la lunghezza usa il valore assoluto della differenza.

\mathcal{D}(A,B)=2-(-7)=9, \qquad \mathcal{D}(B,A)=-7-2=-9,

e

\mathcal{L}(A,B)=|2-(-7)|=9.

Le differenze orientate hanno segno opposto, mentre la lunghezza è la stessa in entrambi i versi.

Calcola la distanza del punto \(P(-3,4)\) dall'origine \(O(0,0)\).

Suggerimento 1

Nella formula della distanza sostituisci \(x_A=0\), \(y_A=0\), \(x_B=-3\) e \(y_B=4\).

d(O,P)=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

La distanza dall'origine è 5 unità.

Calcola perimetro e area del triangolo con vertici \(A(0,0)\), \(B(3,0)\) e \(C(0,4)\).

Suggerimento 1

\(AB\) e \(AC\) sono paralleli agli assi. Per \(BC\) usa la formula della distanza; poi riconosci la base e l'altezza del triangolo rettangolo.

AB=3,\qquad AC=4,

e

BC=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=5.

Il perimetro è

$ 2p=3+4+5=12, $

mentre l'area è

\mathcal{A}=\frac{3\cdot4}{2}=6.

Per \(A(1,2)\) e \(B(5,6)\) calcola l'area orientata \(\mathcal{A}_{AB}\) e quella ottenuta invertendo gli estremi. Spiega quale valore rappresenta la superficie geometrica quando il segmento resta sopra l'asse \(x\).

Suggerimento 1

Usa \(\mathcal{A}_{AB}=\frac{(y_A+y_B)(x_B-x_A)}{2}\) e poi ripeti il calcolo per \(BA\).

\mathcal{A}_{AB}=\frac{(2+6)(5-1)}{2}=16,

mentre

\mathcal{A}_{BA}=\frac{(6+2)(1-5)}{2}=-16.

Il valore assoluto, \(16\) unità quadrate, è la superficie geometrica della regione sottesa perché il segmento è interamente sopra l'asse \(x\). Il segno meno di \(\mathcal{A}_{BA}\) registra soltanto il verso opposto.

I vertici consecutivi di un rettangolo sono \(A(-1,1)\), \(B(5,1)\), \(C(5,4)\) e \(D(-1,4)\). Calcola perimetro e area.

Suggerimento 1

Le lunghezze dei lati si ottengono sottraendo le ascisse sui lati orizzontali e le ordinate sui lati verticali.

I lati orizzontali misurano

$ AB=|5-(-1)|=6, $

mentre quelli verticali misurano

$ BC=|4-1|=3. $

Quindi

2p=2(6+3)=18, \qquad \mathcal{A}=6\cdot3=18.

Calcola il baricentro del triangolo con vertici \(A(-3,0)\), \(B(3,0)\) e \(C(0,6)\).

Suggerimento 1

Fai la media delle tre ascisse e, separatamente, la media delle tre ordinate.

G\left(\frac{-3+3+0}{3},\frac{0+0+6}{3}\right) =G(0,2).

Il baricentro è \(G(0,2)\).

Leggere coordinate e quadranti

Punto medio con coordinate negative

Punto medio su un asse

Distanza tra due punti

Differenza orientata e lunghezza

Distanza dall'origine

Perimetro e area di un triangolo

Area orientata e superficie

Problema: un rettangolo nel piano

Il baricentro come media