Scheda di allenamento

Relazioni e funzioni: rappresentazioni ed esercizi

Algebrarelazioni-funzioni8 eserciziIntroduttivo – Avanzato

Dominio, codominio e immagine

Distinguere dominio dichiarato e insieme di definizione

es-relfun-sheet-001
RagionamentoLivello 1

Sia \(R=\{(a,1),(c,1),(c,3)\}\subseteq A\times B\), con \(A=\{a,b,c\}\) e \(B=\{1,2,3,4\}\). Scrivi dominio dichiarato, insieme di definizione, codominio e immagine.

Il dominio dichiarato è \(A\); l'insieme di definizione contiene solo i primi elementi effettivamente presenti nelle coppie.

Il dominio dichiarato è \(A=\{a,b,c\}\); l'insieme di definizione è \(\{a,c\}\). Il codominio è \(B=\{1,2,3,4\}\) e l'immagine, formata dai secondi elementi presenti, è \(\{1,3\}\).

Riconoscere funzioni e proprietà

Calcolare valori e immagine

es-relfun-sheet-002
CalcoloLivello 2

Sia \(f:\{-2,-1,0,1,2\}\to\mathbb{Z}\), \(f(x)=x^2-1\). Calcola \(f(-2)\), \(f(0)\) e \(f(2)\); scrivi poi l'immagine di \(f\).

Calcola anche i valori per \(x=-1\) e \(x=1\) per trovare tutta l'immagine.

\(f(-2)=3\), \(f(0)=-1\) e \(f(2)=3\). Inoltre \(f(-1)=f(1)=0\), quindi \(\operatorname{Im}(f)=\{-1,0,3\}\).

Verificare le proprietà della divisibilità

es-relfun-sheet-003
RagionamentoLivello 2

In \(E=\{1,2,4\}\) considera la relazione «essere divisore di». Verifica se è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva.

Tra le coppie ci sono \((1,2)\) e \((2,4)\), ma non le coppie inverse.

È riflessiva perché ogni elemento divide sé stesso. Non è simmetrica: \(1\) divide \(2\), ma \(2\) non divide \(1\). È antisimmetrica perché due elementi di \(E\) che si dividono a vicenda coincidono; è transitiva perché se \(a\) divide \(b\) e \(b\) divide \(c\), allora \(a\) divide \(c\).

Confrontare equivalenza e ordine

es-relfun-sheet-004
RagionamentoLivello 3
  1. Sulle parole \(\{\text{ape},\text{alba},\text{barca}\}\), «avere la stessa iniziale» è una relazione di equivalenza?
  2. Sia \(E=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) con «essere sottoinsieme di». È un ordine totale o parziale?
Per l'equivalenza controlla riflessività, simmetria e transitività; per la totalità confronta \(\{1\}\) con \(\{2\}\).
  1. È riflessiva, simmetrica e transitiva, dunque è un'equivalenza. Le classi sono \(\{\text{ape},\text{alba}\}\) e \(\{\text{barca}\}\).
  2. L'inclusione è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, quindi è un ordine parziale. Non è totale: né \(\{1\}\subseteq\{2\}\) né \(\{2\}\subseteq\{1\}\).

Iniettività e suriettività

es-relfun-sheet-005
RagionamentoLivello 3

Considera \(f:\{1,2,3\}\to\{2,4,6,8\}\), \(f(x)=2x\). È iniettiva? È suriettiva? Che cosa cambia con codominio \(\{2,4,6\}\)?

Confronta l'immagine con il codominio indicato.

L'immagine è \(\{2,4,6\}\) e valori distinti di \(x\) hanno immagini distinte: \(f\) è iniettiva. Non è suriettiva sul primo codominio, perché \(8\) non è raggiunto; è suriettiva e biiettiva se il codominio è \(\{2,4,6\}\).

Tabelle e grafici

Leggere coordinate e immagine dal grafico

es-relfun-sheet-006
GraficoLivello 3

Leggi il grafico e scrivi le coppie rappresentate; calcola \(f(1)\) e indica l'immagine.

Grafico di una funzione su un dominio finitoQuattro punti isolati: meno due, uno; zero, zero; uno, due; tre, due.−2−10123−1012
In ogni coppia la prima coordinata è l'ingresso, la seconda l'uscita.

Le coppie sono \(\{(-2,1),(0,0),(1,2),(3,2)\}\). Si ha \(f(1)=2\) e \(\operatorname{Im}(f)=\{0,1,2\}\).

Disegnare il grafico di un dominio finito

es-relfun-sheet-007
GraficoLivello 3

Per \(g(x)=x-1\) con dominio \(\{-1,0,1,2\}\), completa una tabella e descrivi i punti da segnare nel piano. Si devono unire i punti?

Calcola l'immagine di ciascun ingresso del dominio dato; non aggiungere valori intermedi.
\(x\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
\(g(x)\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)

Si segnano \((-1,-2)\), \((0,-1)\), \((1,0)\) e \((2,1)\). Il dominio è finito e i punti restano isolati: non si uniscono.

Confrontare proporzionalità diretta e inversa

es-relfun-sheet-008
ProblemaLivello 4

Confronta \(f(x)=3x\) e \(g(x)=12/x\) per \(x=1,2,4\). Calcola i valori e stabilisci quale funzione è direttamente e quale inversamente proporzionale. Per \(g\) indica un valore escluso dal dominio.

Per la proporzionalità diretta è costante \(y/x\); per quella inversa è costante \(xy\).

I valori di \(f\) sono \(3,6,12\) e il rapporto \(f(x)/x=3\) è costante. I valori di \(g\) sono \(12,6,3\) e il prodotto \(xg(x)=12\) è costante; \(g\) non è definita per \(x=0\). Quindi \(f\) è direttamente e \(g\) inversamente proporzionale.

Questi esercizi sono un adattamento originale di attività selezionate dal capitolo 9, esercizi 9.1-9.52, PDF pp. 339-346, di Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, modulo 02 - Insiemi, relazioni, logica. Licenza CC BY-SA 4.0.