Scheda di allenamento

Relazioni tra radici e disequazioni di secondo grado

Algebraequazioni3 eserciziIntermedio – Avanzato

Somma e prodotto delle radici

es-eq2-010
RagionamentoLivello 3

Senza applicare la formula risolutiva, trova le radici di \(x^2-11x+24=0\).

Cerca due numeri con somma \(11\) e prodotto \(24\).

Per \(x^2+bx+c=0\), la somma delle radici è \(-b=11\) e il prodotto è \(c=24\). I numeri sono \(3\) e \(8\). Infatti \(x^2-11x+24=(x-3)(x-8),\) quindi \(x=3\) oppure \(x=8\).

Disequazione di secondo grado

es-eq2-012
CalcoloLivello 3

Risolvi \(x^2-5x+6>0\).

Scomponi il trinomio e studia il segno del prodotto.

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\) Il prodotto è positivo quando i fattori hanno lo stesso segno, cioè fuori dalle radici. Poiché la disequazione è stretta: \(x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty).\)

Somma e prodotto soluzioni

es-eq2-007c
DimostrazioneLivello 4

Dimostra che per \(ax^2 + bx + c = 0\) vale: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) e \(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\).

Usa la formula risolutiva per esprimere \(x_1\) e \(x_2\).

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Somma: \(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\)

Prodotto: \(x_1 \times x_2 = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\)

QED ∎