Scheda di allenamento

Statistica descrittiva

Funzioni e analisistatistica14 eserciziIntroduttivo – Avanzato

Questa scheda segue il percorso della lezione: gli esercizi 1–11 sono il percorso di base; gli esercizi 12–14 sono un approfondimento facoltativo su variabilità, percentili e medie ponderate. Tutti i passaggi necessari per la parte base sono già spiegati nella lezione.

Percorso di base

Leggere un'indagine

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RagionamentoLivello 1

In un'indagine sui mezzi usati per arrivare a scuola partecipano \(24\) studenti. Indica popolazione, unità statistica, carattere e tipo di carattere. Scrivi anche tre possibili modalità.

Chiediti chi viene osservato e quale risposta viene registrata per ogni persona.

La popolazione è l'insieme dei \(24\) studenti coinvolti e l'unità statistica è un singolo studente. Il carattere è il mezzo usato per arrivare a scuola: è qualitativo sconnesso, perché le modalità non sono numeri e non hanno un ordine naturale. Possibili modalità sono bus, bicicletta e a piedi.

Riconoscere il tipo di carattere

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RagionamentoLivello 1

Classifica ciascun carattere come qualitativo sconnesso, qualitativo ordinabile, quantitativo discreto o quantitativo continuo:

  1. colore dello zaino;
  2. giudizio sul servizio: insufficiente, base, buono, ottimo;
  3. numero di fratelli e sorelle;
  4. altezza di una persona.
Nomi e categorie sono qualitativi; conta se i valori sono separati o possono variare continuamente.
  1. Il colore dello zaino è qualitativo sconnesso: i colori non si ordinano in modo naturale.
  2. Il giudizio è qualitativo ordinabile: le categorie hanno un ordine.
  3. Il numero di fratelli e sorelle è quantitativo discreto: è un conteggio.
  4. L'altezza è quantitativo continuo: tra due misure sono possibili altri valori.

Dai dati grezzi alle frequenze

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CalcoloLivello 1

Il numero di libri letti in un mese da \(12\) studenti è:

$ 2,0,1,2,3,1,0,2,1,4,0,2. $

Costruisci la tabella delle frequenze assolute per le modalità \(0,1,2,3,4\).

Conta quante volte compare ogni modalità e controlla che la somma sia \(12\).
Libri \(x_i\)Frequenza assoluta \(f_i\)
\(0\)\(3\)
\(1\)\(3\)
\(2\)\(4\)
\(3\)\(1\)
\(4\)\(1\)
Totale\(12\)

La somma delle frequenze è \(3+3+4+1+1=12\), quindi ogni dato è stato conteggiato una volta.

Frequenze relative e percentuali

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CalcoloLivello 2

In un gruppo di \(25\) studenti, \(12\) scelgono il bus, \(8\) la bicicletta e \(5\) vanno a piedi. Completa per ogni modalità frequenza relativa e percentuale.

Dividi ogni frequenza assoluta per \(25\); moltiplica poi per \(100\) per ottenere la percentuale.
ModalitàFrequenza assolutaFrequenza relativaPercentuale
Bus\(12\)\(12/25=0{,}48\)\(48\%\)
Bicicletta\(8\)\(8/25=0{,}32\)\(32\%\)
A piedi\(5\)\(5/25=0{,}20\)\(20\%\)
Totale\(25\)\(1\)\(100\%\)

Scegliere il grafico

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RagionamentoLivello 2

Scegli la rappresentazione più adatta in ciascun caso e spiega brevemente la scelta:

  1. sport preferito tra \(30\) studenti;
  2. altezza degli studenti raggruppata in classi di \(5\) cm;
  3. temperatura misurata ogni ora durante una giornata;
  4. parti della spesa mensile di una famiglia, espresse in percentuale.
Categorie, intervalli continui, andamento nel tempo e parti di un totale richiedono letture diverse.
  1. Diagramma a barre o a colonne: confronta le frequenze delle categorie di sport.
  2. Istogramma: le altezze sono quantitative continue e sono state raggruppate in intervalli adiacenti.
  3. Grafico cartesiano a linee: il tempo è ordinato e interessa seguire l'andamento della temperatura.
  4. Areogramma: le percentuali rappresentano parti di un unico totale e le categorie sono poche.

Calcolare la media

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CalcoloLivello 2

Calcola la media aritmetica dei dati \(6,8,7,9,10\).

Somma i cinque valori e dividi per il loro numero.
$ \bar{x}=\frac{6+8+7+9+10}{5}=\frac{40}{5}=8. $

La media aritmetica è \(8\).

Media e mediana a confronto

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ProblemaLivello 2

Per i dati \(4,5,5,6,30\), calcola media, mediana e moda e indica quale descrive meglio un valore tipico.

La mediana è il dato centrale dopo l'ordinamento; confronta poi la distanza del valore \(30\) dagli altri.

La lista è già ordinata. La media è

$ \bar{x}=\frac{4+5+5+6+30}{5}=\frac{50}{5}=10. $

Il valore centrale è \(5\), quindi la mediana è \(5\). La moda è \(5\), perché compare due volte e gli altri valori una sola volta. Il valore \(30\) è anomalo e trascina la media verso l'alto: in questo caso la mediana è più rappresentativa del valore tipico.

Una distribuzione bimodale

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RagionamentoLivello 2

La tabella mostra il numero di studenti in base alle ore settimanali di sport. Trova la moda o le mode e indica se la distribuzione è unimodale o bimodale.

Ore\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)\(4\)
Frequenza\(2\)\(5\)\(3\)\(5\)\(1\)
Cerca la frequenza assoluta massima, non il valore numerico più grande.

La frequenza massima è \(5\) e si presenta per \(1\) ora e per \(3\) ore. Le mode sono quindi \(1\) e \(3\); la distribuzione è bimodale.

Un'indagine completa

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ProblemaLivello 3

Per il numero di libri letti in un mese si raccolgono i dati \(1,2,0,3,1,2,1,4,2,0\). Costruisci la tabella con frequenze assolute e percentuali, scegli un grafico adatto, calcola media, mediana e moda e scrivi una breve interpretazione.

Ordina i dati per la mediana; per la media puoi usare \(\sum f_i x_i/\sum f_i\).

Le frequenze sono:

LibriFrequenza assolutaPercentuale
\(0\)\(2\)\(20\%\)
\(1\)\(3\)\(30\%\)
\(2\)\(3\)\(30\%\)
\(3\)\(1\)\(10\%\)
\(4\)\(1\)\(10\%\)
Totale\(10\)\(100\%\)

Il grafico adatto è un diagramma a colonne, perché il carattere è quantitativo discreto. La media è

$ \bar{x}=\frac{0\cdot2+1\cdot3+2\cdot3+3\cdot1+4\cdot1}{10} =\frac{16}{10}=1{,}6. $

I dati ordinati sono \(0,0,1,1,1,2,2,2,3,4\): la mediana è \(\frac{1+2}{2}=1{,}5\). Le mode sono \(1\) e \(2\), entrambe con frequenza \(3\). In questo gruppo il valore tipico è compreso tra uno e due libri, e la metà degli studenti non supera \(1{,}5\) libri in questa distribuzione ordinata.

Confrontare gruppi di dimensione diversa

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RagionamentoLivello 3

In una classe di \(10\) studenti, \(4\) scelgono il bus; in una classe di \(20\) studenti, \(8\) scelgono il bus. Quale classe ha la maggiore preferenza per il bus? Usa le frequenze relative, non solo quelle assolute.

Confronta \(4/10\) e \(8/20\).

Nella prima classe la frequenza relativa è \(4/10=0{,}4=40\%\). Nella seconda è \(8/20=0{,}4=40\%\). Le frequenze assolute sono diverse, ma la preferenza è uguale: in entrambi i gruppi riguarda il \(40\%\) degli studenti.

Campo di variazione

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CalcoloLivello 3

Calcola il campo di variazione delle due serie e indica quale è più dispersa secondo questo indice:

$ A=9,10,11,12,13,\qquad B=1,5,11,15,19. $
Usa \(R=x_{\max}-x_{\min}\) per ciascuna serie.

Per \(A\):

\(R_A=13-9=4.\)

Per \(B\):

\(R_B=19-1=18.\)

Secondo il campo di variazione, la serie \(B\) è più dispersa: i suoi valori occupano un intervallo molto più ampio.

Approfondimento facoltativo

Varianza e deviazione standard

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CalcoloLivello 4

Calcola varianza della popolazione e deviazione standard dei dati \(2,4,4,6\).

Trova la media, poi la media dei quadrati degli scarti dalla media.

La media è

\(\bar{x}=\frac{2+4+4+6}{4}=4.\)

Gli scarti sono \(-2,0,0,2\) e i loro quadrati sono \(4,0,0,4\). Quindi

$ \sigma^2=\frac{4+0+0+4}{4}=2, \qquad \sigma=\sqrt{2}\approx1{,}41. $

Percentili e quartili

es-stat-013
RagionamentoLivello 4

Considera la sequenza ordinata \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Usando la convenzione “primo valore la cui frequenza cumulata raggiunge la percentuale indicata”, individua il 25°, il 50° e il 75° percentile. Dai loro anche il nome usuale.

Con nove dati, il 25°, 50° e 75° percentile si raggiungono rispettivamente al terzo, quinto e settimo dato.

Il 25° percentile è \(3\) ed è il primo quartile \(Q_1\). Il 50° percentile è \(5\) ed è la mediana. Il 75° percentile è \(7\) ed è il terzo quartile \(Q_3\).

Media da una tabella di frequenza

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CalcoloLivello 4

La tabella riporta il numero di ore di sport settimanali e la frequenza degli studenti. Calcola la media ponderata.

Ore \(x_i\)\(0\)\(1\)\(2\)\(3\)
Frequenza \(f_i\)\(2\)\(4\)\(3\)\(1\)
Calcola \(\sum f_i x_i\) e dividi per \(\sum f_i\).

Il numero totale di studenti è \(2+4+3+1=10\). La somma pesata è

$ 0\cdot2+1\cdot4+2\cdot3+3\cdot1=13. $

La media è quindi

$ \bar{x}=\frac{13}{10}=1{,}3\text{ ore}. $

La fonte principale è Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, capitolo 10, sezioni 10.1–10.9, PDF pp. 349–375. Gli esercizi sono una selezione e un adattamento originale dalle pp. 376–389, con licenza CC BY-SA 4.0.