Teoria degli insiemi: esercizi guidati

Leggere e rappresentare gli insiemi

Scrivi per elencazione \(B=\{n\in\mathbb{N}\mid 2\le n<7\}\), assumendo \(0\in\mathbb{N}\).

Suggerimento 1

La prima condizione include \(2\); la seconda esclude \(7\).

I naturali che soddisfano entrambe le condizioni sono \(2,3,4,5,6\): \(B=\{2,3,4,5,6\}.\)

Siano \(C=\{x\in\mathbb{N}\mid x<0\}\) e \(D\) l'insieme delle lettere della parola «luna». Indica \(C\) e \(D\) per elencazione e trova le loro cardinalità.

Suggerimento 1

Non esistono naturali minori di zero; per le lettere, elimina le ripetizioni.

La condizione che definisce \(C\) non è soddisfatta da alcun naturale, dunque \(C=\varnothing\) e \(|C|=0\). Le lettere di «luna» sono tutte distinte: \(D=\{l,u,n,a\}\) e \(|D|=4\).

Sottoinsiemi e operazioni

Per \(A=\{1,2,3\}\), indica quali affermazioni sono vere e correggi quelle false: \(2\in A\), \(\{2\}\in A\), \(\{2\}\subseteq A\), \(\varnothing\subseteq A\), \(A\subsetneq A\).

Suggerimento 1

Il simbolo \(\in\) confronta un elemento con un insieme; \(\subseteq\) confronta due insiemi.

\(2\in A\) è vera: \(2\) è un elemento di \(A\).
\(\{2\}\in A\) è falsa: \(A\) contiene il numero \(2\), non il singoletto \(\{2\}\).
\(\{2\}\subseteq A\) è vera: il suo unico elemento è in \(A\).
\(\varnothing\subseteq A\) è vera: l'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
\(A\subsetneq A\) è falsa: \(A\) è sottoinsieme di sé stesso, ma non è un sottoinsieme proprio di sé stesso.

Scrivi \(\mathcal{P}(A)\) per \(A=\{x,y\}\). Quanti elementi ha l'insieme delle parti?

Suggerimento 1

Raggruppa i sottoinsiemi per numero di elementi: zero, uno, due.

I sottoinsiemi sono \(\varnothing\), \(\{x\}\), \(\{y\}\) e \(\{x,y\}\): \(\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}.\) Sono \(4=2^2\) elementi.

Siano \(A=\{1,2,4,6\}\) e \(B=\{2,3,6,7\}\). Calcola \(A\cup B\) e \(A\cap B\).

Suggerimento 1

Nell'unione raccogli ogni elemento una volta; nell'intersezione tieni solo quelli comuni.

Gli elementi presenti in almeno un insieme sono \(1,2,3,4,6,7\); quelli comuni sono \(2\) e \(6\). Quindi \(A\cup B=\{1,2,3,4,6,7\},\qquad A\cap B=\{2,6\}.\)

Per \(A=\{a,b,c,d\}\) e \(B=\{c,d,e\}\), calcola \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) e \(A\triangle B\).

Suggerimento 1

La differenza tiene conto dell'ordine; la differenza simmetrica raccoglie le due differenze.

Da \(A\) togliamo gli elementi comuni \(c,d\) e resta \(\{a,b\}\). Da \(B\) resta \(\{e\}\). La differenza simmetrica unisce i risultati: \(A\setminus B=\{a,b\},\quad B\setminus A=\{e\},\quad A\triangle B=\{a,b,e\}.\)

Sia \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(A=\{1,2,3\}\) e \(B=\{3,4\}\). Calcola i due membri di \((A\cup B)^c_U=A^c_U\cap B^c_U\) e verifica che coincidono.

Suggerimento 1

Calcola prima \(A\cup B\), poi i complementari rispetto allo stesso \(U\).

\(A\cup B=\{1,2,3,4\}\), dunque \((A\cup B)^c_U=\{5,6\}\). Inoltre \(A^c_U=\{4,5,6\}\) e \(B^c_U=\{1,2,5,6\}\); la loro intersezione è \(\{5,6\}\). I due membri sono uguali.

Intervalli e coppie ordinate

Siano \(I=(-3,2]\) e \(J=[0,5)\). Calcola \(I\cap J\), \(I\cup J\) e \(I\setminus J\).

Suggerimento 1

Segna sulla retta i quattro estremi e controlla quale intervallo include ciascun estremo.

I punti comuni vanno da \(0\) incluso a \(2\) incluso: \(I\cap J=[0,2]\). I due intervalli si sovrappongono e coprono \((-3,5)\), quindi \(I\cup J=(-3,5)\). Togliendo \(J\) da \(I\) resta il tratto da \(-3\) escluso a \(0\) escluso: \(I\setminus J=(-3,0)\).

Siano \(A=\{r,s\}\) e \(B=\{0,1,2\}\). Elenca \(A\times B\) e indica quante coppie contiene.

Suggerimento 1

Per ogni primo elemento, abbinalo a tutti gli elementi di \(B\).

\(A\times B=\{(r,0),(r,1),(r,2),(s,0),(s,1),(s,2)\}.\) Le coppie sono \(2\cdot3=6\), una per ciascuna scelta del primo e del secondo elemento.

Diagrammi e problemi

In un gruppo di \(30\) persone, \(18\) praticano nuoto, \(11\) pallavolo e \(4\) entrambi gli sport. Quante persone praticano almeno uno sport? Quante nessuno dei due? Quante praticano solo nuoto?

Suggerimento 1

Disegna due cerchi che si sovrappongono: inserisci prima chi pratica entrambi.

Solo nuoto: \(18-4=14\). Solo pallavolo: \(11-4=7\). L'unione contiene \(14+4+7=25\) persone, equivalenti a \(18+11-4=25\). Non praticano nessuno dei due sport \(30-25=5\) persone.

In una classe di \(26\) studenti, \(15\) seguono inglese e \(13\) francese. \(3\) studenti non seguono nessuno dei due corsi. Quanti seguono entrambi?

Suggerimento 1

Chi segue almeno un corso è il complemento, nella classe, di chi non segue nessuno.

Seguono almeno un corso \(26-3=23\) studenti. Dalla formula \(|I\cup F|=|I|+|F|-|I\cap F|\) ricaviamo \(|I\cap F|=15+13-23=5.\) Quindi \(5\) studenti seguono entrambi i corsi.

In un gruppo di \(40\) studenti, \(22\) studiano inglese (\(I\)), \(18\) francese (\(F\)) e \(15\) tedesco (\(T\)). Inoltre, \(8\) studiano inglese e francese, \(6\) inglese e tedesco, \(5\) francese e tedesco; \(3\) studiano tutte e tre le lingue. Quanti studiano almeno una lingua e quanti nessuna? Le intersezioni a due insiemi indicate comprendono chi studia tutte e tre le lingue.

Suggerimento 1

Quando sommi le tre cardinalità, sottrai ogni intersezione a due; chi è in tutti e tre va poi aggiunto una volta.

Per l'inclusione-esclusione: \(|I\cup F\cup T|=|I|+|F|+|T|-|I\cap F|-|I\cap T|-|F\cap T| +|I\cap F\cap T|.\) Sostituendo i dati: \(22+18+15-8-6-5+3=39.\) Studiano almeno una lingua \(39\) studenti; nessuna lingua: \(40-39=1\) studente.

Gli esercizi della scheda sono un adattamento originale di esercizi selezionati dal capitolo 8, sezione 8.6 (PDF pp. 299–316), di Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, modulo 02 - Insiemi, relazioni, logica. Licenza CC BY-SA 4.0.

Teoria degli insiemi: esercizi guidati

Leggere e rappresentare gli insiemi

Elencare un insieme definito da una proprietà

Cardinalità e insieme vuoto

Sottoinsiemi e operazioni

Appartenenza oppure inclusione

Scrivere l'insieme delle parti

Unione e intersezione

Differenza e differenza simmetrica

Verificare una legge di De Morgan

Intervalli e coppie ordinate

Unione, intersezione e differenza di intervalli

Elencare le coppie ordinate

Diagrammi e problemi

Problema con due insiemi

Trovare una regione mancante

Unione di tre insiemi