Probabilità condizionata e formula di Bayes
Sapere che un evento è avvenuto cambia lo spazio dei casi possibili.
Se \(P(B)>0\), la probabilità di \(A\) sapendo \(B\) è \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\)
Da qui segue \(P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)\). Gli eventi sono indipendenti quando \(P(A\mid B)=P(A)\).
Aggiornare una probabilità
Se \(H_1,\ldots,H_n\) formano una partizione e osserviamo \(E\), la formula di Bayes è
\(P(H_i\mid E)=\frac{P(E\mid H_i)P(H_i)}{\sum_j P(E\mid H_j)P(H_j)}.\)
Una condizione riguarda l'\(1\%\) della popolazione. Un test è positivo nel \(95\%\) dei malati e nel \(5\%\) dei sani.
Su \(10\,000\) persone ci aspettiamo \(100\) malati, di cui \(95\) positivi, e \(9\,900\) sani, di cui \(495\) positivi. Quindi \(P(\text{malato}\mid +)=\frac{95}{95+495}\approx16{,}1\%.\)
Un test positivo non implica una probabilità del \(95\%\): conta anche la frequenza iniziale della condizione.
In generale \(P(A\mid B)\neq P(B\mid A)\). Scambiarle trascura il denominatore e produce conclusioni errate.
Prova tu
Un'urna viene scelta a caso: la prima contiene \(3\) rosse e \(1\) blu, la seconda \(1\) rossa e \(3\) blu. Estratta una rossa, qual è la probabilità che provenga dalla prima urna?