Grado del prodotto
Problema
Dimostra che il grado del prodotto di due polinomi non nulli \(P(x)\) e \(Q(x)\) è uguale alla somma dei loro gradi:
\(\text{grado}(P \cdot Q) = \text{grado}(P) + \text{grado}(Q)\)
Suggerimento 1
Considera i termini di grado massimo di \(P\) e \(Q\). Nel prodotto, il termine di grado massimo è il prodotto dei due termini di grado massimo.
Soluzione passo-passo
Sia \(P(x) = a_n x^n + \dots\) con \(a_n \neq 0\), quindi \(\text{grado}(P) = n\).
Sia \(Q(x) = b_m x^m + \dots\) con \(b_m \neq 0\), quindi \(\text{grado}(Q) = m\).
Il prodotto è:
\(P(x) \cdot Q(x) = a_n b_m x^{n+m} + \dots\)
Poiché \(a_n \neq 0\) e \(b_m \neq 0\), allora \(a_n b_m \neq 0\). Il termine di grado massimo nel prodotto è \(a_n b_m x^{n+m}\), che ha grado \(n + m\).
Quindi: \(\text{grado}(P \cdot Q) = n + m = \text{grado}(P) + \text{grado}(Q)\) ∎