Disequazioni di primo grado
Le disequazioni sono disuguaglianze letterali che coinvolgono un'incognita.
Una disequazione di primo grado è una disuguaglianza della forma \(ax + b > 0\) (o \(<, \geq, \leq\)) con \(a \neq 0\).
Principi di equivalenza
Le disequazioni si risolvono con principi simili alle equazioni, con una differenza fondamentale:
Moltiplicando o dividendo per un numero negativo, si inverte il verso della disequazione!
\(3x > 6 \implies x > 2\) \(-3x > 6 \implies x < -2\)
Metodo risolutivo
- Semplificare entrambi i membri
- Portare tutti i termini con \(x\) a sinistra e i numeri a destra
- Ridurre i termini simili
- Dividere per il coefficiente di \(x\) (attenzione al segno!)
Risolvere: \(2x - 3 > 5\)
\(2x > 5 + 3\) \(2x > 8\) \(x > 4\)
Soluzione: \(x \in (4, +\infty)\)
Risolvere: \(-4x + 2 \leq 10\)
\(-4x \leq 10 - 2\) \(-4x \leq 8\) \(x \geq -2\)
Soluzione: \(x \in [-2, +\infty)\)
Dimenticare di invertire il verso della disequazione quando si divide per un numero negativo è l'errore più comune!
Rappresentazione grafica
La soluzione si rappresenta sulla retta reale con:
- Tondo pieno (•) se \(\geq\) o \(\leq\)
- Tondo vuoto (○) se \(>\) o \(<\)
Risolvere: \(3x - 1 < 8\)
Risolvere: \(-2x + 5 \geq 1\)