Calcolo letterale: monomi e polinomi
Con i numeri possiamo risolvere un caso particolare; con le lettere possiamo descrivere una famiglia intera di casi. In questa lezione impariamo a leggere una formula, ridurre monomi e polinomi e controllare il risultato sostituendo valori numerici.
Il confine è preciso: qui costruiamo gli strumenti per usare le lettere nelle equazioni. La scomposizione completa dei polinomi, le frazioni algebriche e le funzioni polinomiali avanzate appartengono a lezioni successive.
Perché servono le lettere
Immagina di costruire una scatola aperta partendo da un cartoncino rettangolare di lati \(2\,\text{dm}\) e \(3\,\text{dm}\). Tagliando quattro quadratini di lato \(x\) ai bordi e piegando il cartoncino, le dimensioni della scatola diventano
Il volume dipende quindi dalla lunghezza del taglio:
La lettera \(x\) non è un numero misterioso: rappresenta una misura che può variare. In questo modello concreto deve essere \(0\le x<1\): un taglio negativo non ha senso e un taglio di almeno \(1\,\text{dm}\) annullerebbe una delle dimensioni della base.
Se \(x=0{,}2\,\text{dm}\), le dimensioni della scatola sono
perciò
La stessa formula permette di controllare qualunque altro taglio ammesso, senza risolvere ogni volta un problema completamente nuovo.
Una formula può essere calcolata anche per valori che nel modello concreto non hanno significato. Prima di sostituire un numero, controlla sempre il dominio del problema e le unità di misura.
Espressioni letterali e valore numerico
Un'espressione letterale è un'espressione matematica che contiene una o più lettere, dette variabili. Il valore numerico si ottiene sostituendo alle variabili i valori assegnati e svolgendo le operazioni.
Le parentesi sono importanti anche quando compaiono lettere. Per esempio, \(a(b+c)\) significa "il prodotto di \(a\) per la somma di \(b\) e \(c\)", mentre \(ab+c\) significa "la somma del prodotto \(ab\) e di \(c\)".
Le formule collegano direttamente una situazione alle sue misure:
è l'area di un trapezio con basi \(B\) e \(b\) e altezza \(h\).
Un trapezio ha basi \(B=14\,\text{cm}\) e \(b=8\,\text{cm}\), con altezza \(h=5\,\text{cm}\). Sostituiamo nella formula prima di calcolare:
Le lettere possono anche esprimere proprietà valide per molti numeri, per esempio la proprietà distributiva:
Monomi: riconoscere i mattoni
Un monomio è un prodotto tra un coefficiente numerico e potenze di lettere con esponenti interi non negativi. Scrivendolo in forma normale, distinguiamo:
- il coefficiente, cioè la parte numerica;
- la parte letterale, cioè il prodotto delle potenze delle lettere;
- il grado complessivo di un monomio non nullo, cioè la somma degli esponenti della parte letterale.
Per esempio, nel monomio \(-3a^2b^3\) il coefficiente è \(-3\), la parte letterale è \(a^2b^3\) e il grado è \(2+3=5\). In \(x\) il coefficiente sottinteso è \(1\) e il grado è \(1\); in \(7\) il grado è \(0\).
Se il coefficiente è \(0\), il monomio è nullo e coincide con \(0\), qualunque sia la parte letterale. Al monomio nullo non assegniamo un grado.
Due monomi sono simili quando hanno la stessa parte letterale, con le stesse lettere e gli stessi esponenti. I coefficienti possono essere diversi: \(4x^2y\) e \(-\frac13x^2y\) sono simili, mentre \(4x^2y\) e \(4xy^2\) non lo sono.
Riduciamo il monomio \((2a)(-3a^2b)\) in forma normale:
Il coefficiente è \(-6\) e il grado è \(3+1=4\).
Operazioni con i monomi
Nel prodotto dei monomi si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali:
Nella potenza di un monomio si eleva il coefficiente alla potenza e si moltiplicano gli esponenti:
Il quoziente segue la regola opposta, ma solo quando il divisore non è nullo e il risultato resta nel tipo di monomio che stiamo studiando:
Si possono sommare o sottrarre direttamente solo monomi simili: si opera sui coefficienti e si conserva la parte letterale.
Se i monomi non sono simili, non si possono fondere in un unico monomio:
resta una somma di due termini.
\(3x^2+4x^3\) non diventa \(7x^5\): l'addizione non somma gli esponenti e i due termini non sono simili. Gli esponenti si sommano nel prodotto, non nella somma.
Termini simili
es-cal-001Riduci in forma normale: \(5x^2y+3xy^2-2x^2y-xy^2\).
Polinomi e forma normale
Un polinomio è una somma algebrica di monomi interi. Un polinomio con due, tre o quattro termini non nulli dopo la riduzione in forma normale si chiama rispettivamente binomio, trinomio o quadrinomio.
Il polinomio è in forma normale quando non contiene più termini simili. Il grado complessivo di un polinomio non nullo è il massimo dei gradi dei suoi termini non nulli, dopo la riduzione in forma normale. Se tutti i termini si annullano, otteniamo il polinomio nullo \(0\), al quale non assegniamo un grado.
Consideriamo
Raggruppiamo soltanto i termini simili:
I gradi dei tre termini sono rispettivamente \(3\), \(2\) e \(0\), quindi il grado complessivo di \(P\) è \(3\). Il termine noto è \(5\).
Somma e differenza di polinomi
Per sommare polinomi eliminiamo le parentesi e riduciamo i termini simili. Per sottrarre un polinomio, cambiamo il segno a tutti i suoi termini prima di ridurre.
Distributività: monomio per polinomio
La proprietà distributiva dice che ogni termine deve essere moltiplicato:
Prodotto tra polinomi
Nel prodotto tra polinomi, ogni termine del primo fattore va moltiplicato per ogni termine del secondo. Solo dopo si riducono i termini simili.
Il grado massimo è \(2\), uguale alla somma dei gradi dei due fattori di primo grado: questo è anche un controllo utile per accorgersi di un passaggio mancante.
Nel prodotto \((x+2)(x-3)\) non basta moltiplicare i primi termini e gli ultimi termini: i due prodotti incrociati \(-3x\) e \(2x\) sono indispensabili.
Moltiplicazione di polinomi
es-cal-002Semplifica: \((x+3)(x-2)+(x-1)(x+4)\).
Prodotti notevoli: distributività in forma compatta
Un prodotto notevole non è una formula magica: è un prodotto che, grazie alla distributività, compare spesso e può essere riconosciuto rapidamente.
Quadrato di un binomio
Partendo dalla distributività otteniamo
Il termine centrale è il doppio prodotto \((2)(2x)(-3)=-12x\).
Somma per differenza
Quando i due binomi hanno gli stessi termini con segni opposti, i prodotti incrociati si annullano:
Per esempio,
Il cubo di un binomio si può ottenere ancora dalla distributività; per il seguito basta riconoscere la forma:
\((a+b)^2\) non è \(a^2+b^2\): manca il doppio prodotto \(2ab\). Un controllo rapido con \(a=b=1\) dà \(4\) a sinistra e \(2\) nell'espressione sbagliata.
Prodotto notevole
es-cal-003Sviluppa e riduci: \((3x+2)^2-(x+2)(x-2)\).
Valore di un polinomio e controllo finale
Per trovare il valore di un polinomio sostituiamo la variabile con il numero richiesto, usando le parentesi quando il numero è negativo. Possiamo anche confrontare due forme equivalenti della stessa espressione: se danno valori diversi, c'è un errore nella riduzione.
Sia \(P(x)=2x^2-3x+1\). Per \(x=-2\):
Se usiamo la forma raccolta \(P(x)=(2x-1)(x-1)\), otteniamo lo stesso controllo:
Il volume della scatola iniziale è un altro esempio: la forma fattorizzata \(V(x)=(2-2x)(3-2x)x\) mostra le dimensioni, mentre la forma sviluppata
è più comoda per calcolare e confrontare valori ammessi di \(x\).
Valore numerico
es-cal-004Calcola il valore di \(P(x)=3x^2-2x+1\) per \(x=-1\). Usa le parentesi attorno al valore negativo e controlla l'ordine delle operazioni.
Prova tu
Gli esercizi incorporati controllano i passaggi essenziali. Per una pratica più ampia e graduata, continua con la scheda Espressioni, monomi e polinomi.
Continua con
- Identità ed equazioni di primo grado, dove userai le espressioni letterali per rappresentare e risolvere relazioni;
- Prodotti notevoli per un allenamento dedicato alle identità ottenute dalla distributività.
La fonte principale è Matematica Libera, Modulo 3: Calcolo letterale, versione 0.9.9 (2023), sezioni 1.1-1.5, pp. 1-25 (pp. 9-33 del PDF). Gli esempi e gli esercizi sono un adattamento editoriale originale, con selezioni rielaborate dalla sezione 1.6, pp. 26-50 (pp. 34-58 del PDF); la fonte è distribuita con licenza CC BY-SA 4.0.