Disequazioni di secondo grado
Le disequazioni di secondo grado si risolvono studiando il segno del trinomio.
Una disequazione di secondo grado è una disuguaglianza della forma \(ax^2 + bx + c > 0\) (o \(<, \geq, \leq\)) con \(a \neq 0\).
Studio del segno del trinomio
Il segno di \(ax^2 + bx + c\) dipende dal discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\):
| \(\Delta\) | Segno | |---|---| | \(\Delta > 0\), \(a > 0\) | Positivo fuori dalle radici, negativo tra le radici | | \(\Delta > 0\), \(a < 0\) | Negativo fuori dalle radici, positivo tra le radici | | \(\Delta < 0\), \(a > 0\) | Sempre positivo | | \(\Delta < 0\), \(a < 0\) | Sempre negativo | | \(\Delta = 0\) | Positivo (o negativo) ovunque, zero in una radice |
Metodo risolutivo
- Risolvere l'equazione associata \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Studiare il segno del trinomio
- Leggere la soluzione dalla disequazione
Risolvere: \(x^2 - 5x + 6 > 0\)
Radici: \(x = 2\) e \(x = 3\). Coefficiente \(a = 1 > 0\).
Il trinomio è positivo per \(x < 2\) o \(x > 3\).
Soluzione: \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)
Risolvi: \(x^2 - 4 < 0\)
Risolvi: \(x^2 + x + 1 > 0\)