Relazioni e funzioni
Le funzioni sono il concetto fondamentale dell'analisi matematica.
Una relazione tra due insiemi \(A\) e \(B\) è un sottoinsieme del prodotto cartesiano \(A \times B\).
Una funzione \(f: A \to B\) è una relazione particolare in cui ogni elemento di \(A\) è associato a uno e un solo elemento di \(B\).
Dominio e codominio
- Dominio (\(D_f\)): l'insieme di partenza \(A\)
- Codominio: l'insieme di arrivo \(B\)
- Immagine: il sottoinsieme di \(B\) formato dai valori effettivamente assunti
Tipi di funzioni
| Tipo | Proprietà | |---|---| | Iniettiva | Elementi diversi hanno immagini diverse | | Suriettiva | Ogni elemento del codominio è immagine | | Biiettiva | Sia iniettiva che suriettiva |
Funzioni elementari
| Funzione | Forma | Grafico | |---|---|---| | Costante | \(f(x) = k\) | Retta orizzontale | | Identità | \(f(x) = x\) | Retta \(y = x\) | | Proporzionalità | \(f(x) = kx\) | Retta per l'origine | | Quadratica | \(f(x) = x^2\) | Parabola | | Inversamente prop. | \(f(x) = \frac{k}{x}\) | Iperbole |
\(f(x) = 2x + 1\) è una funzione lineare.
- Dominio: \(\mathbb{R}\)
- \(f(0) = 1\) (intercetta y)
- \(f(x) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\) (intercetta x)
- Grafico: retta con coefficiente angolare \(2\) e intercetta \(1\)
Qual è il dominio della funzione \(f(x) = \sqrt{x - 2}\)?
Data \(f(x) = 3x^2 - 2\), calcola \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(-2)\).
La funzione \(f(x) = x^2\) è iniettiva? Giustifica.