Relazioni e funzioni
Un orario collega ogni linea di autobus alle fermate in cui passa; una tabella può collegare ogni numero al suo doppio. Per descrivere questi collegamenti servono insiemi di partenza e di arrivo, coppie ordinate e rappresentazioni leggibili. Al termine saprai rappresentare una relazione, controllarne alcune proprietà e riconoscere quando una corrispondenza è una funzione.
Partiamo dal prodotto cartesiano: se \(A\) e \(B\) sono insiemi, \(A\times B\) contiene tutte le coppie \((a,b)\) con \(a\in A\) e \(b\in B\). Una relazione sceglie alcune di queste coppie secondo una regola.
Dalle coppie ordinate alle relazioni
Una relazione \(R\) da un insieme \(A\) a un insieme \(B\) è un sottoinsieme di \(A\times B\). Scrivere \((a,b)\in R\) significa che \(a\) è in relazione con \(b\); la coppia è ordinata, quindi in generale \((a,b)\ne(b,a)\).
Consideriamo le taglie \(A=\{S,M,L\}\) e tre ordini \(B=\{\text{Ada},\text{Bea},\text{Ciro}\}\). La regola «la persona ha scelto la taglia» può essere descritta da \(R=\{(S,\text{Ada}),(M,\text{Bea}),(M,\text{Ciro})\}.\) La stessa informazione si può mostrare con frecce, con una tabella di coppie o con punti su un piano cartesiano quando gli elementi sono numerici.
Siano \(A=\{2,3,4\}\), \(B=\{6,8,9\}\) e la regola «\(a\) divide \(b\)». La relazione è \(R=\{(2,6),(2,8),(3,6),(3,9),(4,8)\}\). Per esempio \((3,9)\in R\), ma \((4,9)\notin R\).
Dominio, codominio e immagine
Per una relazione \(R\subseteq A\times B\), \(A\) è l'insieme di partenza, cioè il dominio dichiarato, e \(B\) è il codominio o insieme di arrivo. Il sottoinsieme degli elementi di \(A\) che partecipano davvero alla relazione è l'insieme di definizione: \(D_R=\{a\in A\mid \text{esiste }b\in B\text{ con }(a,b)\in R\}.\) L'immagine raccoglie gli elementi di \(B\) che ricevono almeno una freccia. Dominio dichiarato e codominio sono stabiliti dal problema; insieme di definizione e immagine si ricavano invece dalle coppie della relazione.
Nell'esempio delle taglie, il dominio dichiarato è \(A=\{S,M,L\}\), l'insieme di definizione è \(\{S,M\}\), il codominio è \(B=\{\text{Ada},\text{Bea},\text{Ciro}\}\) e l'immagine è tutto \(B\). La taglia \(L\) non compare come primo elemento di una coppia, mentre ogni persona riceve almeno una freccia. Se Ciro non avesse ancora scelto, resterebbe nel codominio, ma non nell'immagine. Per una funzione, ogni elemento del dominio dichiarato deve invece appartenere all'insieme di definizione.
Una relazione che non è una funzione e una che lo è
Nel primo diagramma un elemento di partenza ha due immagini: la relazione non è una funzione. Nel secondo ogni elemento di partenza ha esattamente una freccia in uscita: è una funzione, anche se due elementi possono arrivare allo stesso valore.
Proprietà delle relazioni in un insieme
Quando dominio e codominio sono lo stesso insieme \(E\), possiamo controllare come gli elementi sono collegati tra loro. Per verificare una proprietà, leggiamo la regola e cerchiamo un caso che la conferma o la smentisce.
- Riflessiva: ogni elemento è in relazione con sé stesso: \(xRx\) per ogni \(x\in E\).
- Simmetrica: se \(xRy\), allora anche \(yRx\).
- Antisimmetrica: se \(xRy\) e \(yRx\), allora \(x=y\).
- Transitiva: se \(xRy\) e \(yRz\), allora \(xRz\).
In \(E=\{1,2,3,6\}\) consideriamo «essere divisore di».
- La relazione è riflessiva: ogni numero divide sé stesso.
- È antisimmetrica: se \(a\) divide \(b\) e \(b\) divide \(a\), per numeri naturali positivi deve essere \(a=b\).
- Non è simmetrica: \(2\) divide \(6\), ma \(6\) non divide \(2\).
- È transitiva: se \(a\) divide \(b\) e \(b\) divide \(c\), allora \(a\) divide \(c\).
La relazione quindi è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, ma non simmetrica.
Una relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva. Per esempio, «avere la stessa parità» sui numeri interi mette in relazione i numeri pari tra loro e quelli dispari tra loro.
Gli elementi equivalenti formano una classe di equivalenza: nell'esempio le due classi sono l'insieme dei pari e quello dei dispari.
Un ordine parziale è una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva. È totale se ogni coppia di elementi è confrontabile, come accade per i numeri naturali con \(\leq\); è parziale non totale se alcune coppie non si possono confrontare, come gli insiemi con la relazione «essere sottoinsieme di». Alcuni testi chiamano ordine stretto una relazione irriflessiva e transitiva, come \(<\); irriflessiva significa che nessun elemento è in relazione con sé stesso. In questo capitolo, «ordine» indica l'ordine parziale.
Simmetrica e antisimmetrica non sono sinonimi. La prima richiede che ogni freccia tra elementi distinti abbia anche la freccia inversa. La seconda impedisce frecce in entrambi i versi tra elementi distinti. Una relazione può non essere né l'una né l'altra.
Controllare una relazione
es-relfun-001In \(E=\{1,2,3\}\) considera \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\). È riflessiva? È simmetrica? È antisimmetrica? Motiva ogni risposta con le coppie presenti o mancanti.
Funzioni: una sola uscita per ogni ingresso
Una funzione \(f:A\to B\) è una relazione che associa a ogni \(x\) del dominio \(A\) uno e un solo elemento \(y\) del codominio \(B\). Si scrive \(y=f(x)\); \(f(x)\) è il valore della funzione in \(x\).
La regola deve dare un valore a tutti gli elementi del dominio e non può assegnarne due diversi allo stesso elemento. Invece, due ingressi distinti possono avere la stessa uscita. Una funzione è iniettiva se ingressi distinti hanno uscite distinte; è suriettiva se ogni elemento del codominio viene raggiunto; è biiettiva se è entrambe le cose.
La funzione dipende dalla regola, ma anche da dominio e codominio dichiarati. Per esempio \(f:\{1,2,3\}\to\{2,4,6,8\}\), \(f(x)=2x\), è una funzione iniettiva, ma non suriettiva: \(8\) appartiene al codominio e non all'immagine.
Sia \(f:A\to B\) con \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{0,2,4,6,8\}\) e \(f(x)=2x\).
- Dominio: \(A=\{1,2,3\}\).
- Codominio: \(B=\{0,2,4,6,8\}\).
- Valori: \(f(1)=2\), \(f(2)=4\), \(f(3)=6\).
- Immagine: \(\{2,4,6\}\), un sottoinsieme del codominio.
Ogni ingresso ha un'unica uscita, quindi è una funzione; ingressi diversi hanno valori diversi, quindi è iniettiva. Non è suriettiva perché \(0\) e \(8\) non sono immagini di elementi del dominio.
Calcolare valori di una funzione
es-relfun-002Sia \(g:\{-1,0,1,2\}\to\mathbb{Z}\), \(g(x)=x+3\). Calcola \(g(-1)\), \(g(0)\), \(g(2)\) e scrivi l'immagine di \(g\).
Tabelle e grafici: rappresentare una funzione
Per rappresentare una funzione con una tabella, scegliamo alcuni valori di \(x\), calcoliamo il valore corrispondente e scriviamo le coppie \((x,f(x))\). Nel piano cartesiano ogni coppia diventa un punto: la coordinata orizzontale è l'ingresso \(x\), quella verticale è l'uscita \(y=f(x)\). Per funzioni definite su tutti i numeri reali, il grafico spesso unisce i punti; per domini finiti o discreti, i punti restano separati.
Consideriamo \(f(x)=x+1\) per \(x\in\{-1,0,1,2\}\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)=x+1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
Il grafico è formato dai punti \((-1,0)\), \((0,1)\), \((1,2)\) e \((2,3)\). Per controllare se un disegno rappresenta una funzione, immaginiamo una retta verticale: se incontra il grafico in due punti distinti per la stessa ascissa, quella rappresentazione non assegna un'unica uscita a quell'ingresso.
Una tabella con le sole coppie non mostra automaticamente tutti i valori intermedi. Prima di unire i punti, chiediti se il dominio contiene anche i valori tra quelli elencati.
Leggere una tabella di valori
es-relfun-003La tabella contiene i valori di una funzione \(h\).
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(3\) | \(1\) | \(-1\) | \(-3\) |
Scrivi le coppie rappresentate. Qual è \(h(2)\)? Il punto \((2,1)\) appartiene al grafico?
Funzioni elementari e proporzionalità
Una funzione è anche un modello che descrive come cambia una quantità al variare di un'altra. Consideriamo solo regole semplici, con dominio dichiarato dal problema:
- costante: \(f(x)=c\) assegna sempre lo stesso valore;
- identità: \(f(x)=x\) lascia invariato il valore;
- proporzionalità diretta: \(f(x)=kx\); il rapporto \(f(x)/x\) è costante per \(x\ne0\) e, sul dominio reale, il grafico è una retta passante per l'origine;
- proporzionalità inversa: \(f(x)=k/x\), con \(x\ne0\); il prodotto \(x\,f(x)\) è costante;
- proporzionalità quadratica: \(f(x)=kx^2\); per esempio l'area di un quadrato di lato \(x\ge0\) è \(A(x)=x^2\).
Altre due forme elementari sono la funzione lineare \(f(x)=mx+q\), il cui grafico sul dominio reale è una retta, e la funzione quadratica \(f(x)=ax^2+bx+c\) con \(a\ne0\), il cui grafico sul dominio reale è una parabola. Le funzioni costanti e di proporzionalità diretta sono casi particolari della funzione lineare. La funzione valore assoluto \(f(x)=|x|\) ha invece un grafico a forma di V; la sua definizione e i casi con equazioni e disuguaglianze sono trattati nella lezione Valore assoluto.
Un quaderno costa \(2\) euro. Il costo \(C\) di \(n\) quaderni è \(C(n)=2n\). Per \(n=0,1,2,3\) otteniamo \(C(n)=0,2,4,6\): raddoppiando il numero di quaderni raddoppia il costo. Il rapporto \(C(n)/n=2\) per \(n>0\), quindi il modello è di proporzionalità diretta. Nel contesto \(n\) è un numero naturale, perciò il grafico è un insieme di punti, non una linea continua.
La formula da sola non descrive sempre il contesto. Per una quantità discreta come il numero di quaderni, il dominio è \(\mathbb{N}\); per il lato di una figura può essere \(x\ge0\). Nella proporzionalità inversa, \(x=0\) è escluso.
Scegliere il dominio del modello
es-relfun-004Un taxi applica una tariffa di \(3\) euro alla partenza e \(2\) euro per ogni chilometro percorso. Scrivi il costo \(C(x)\) dopo \(x\) chilometri e indica quale dominio è ragionevole per \(x\). È una proporzionalità diretta? Spiega usando la formula.
Per classificare relazioni, allenarti sui valori e leggere rappresentazioni diverse, continua con la scheda Relazioni e funzioni: rappresentazioni ed esercizi.
Continua con
- Teoria degli insiemi, prerequisito: prodotto cartesiano e coppie ordinate;
- Valore assoluto, per studiare una funzione elementare definita a tratti;
- Funzioni: teoria e classificazione, approfondimento successivo per proprietà delle funzioni, composizione, inversa e classificazioni più ampie.
Questa lezione introduce le relazioni e le funzioni con esempi finiti e modelli elementari. Limiti, derivate, funzioni esponenziali e logaritmiche e studio completo della retta appartengono alle lezioni successive. La fonte è Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, versione 1.1.1 (febbraio 2026), coordinata da Daniele Zambelli, capitolo 9, sezioni 9.1-9.4 (PDF pp. 317-338); la scheda propone esercizi adattati dalle pp. 339-346. Adattamento editoriale originale, licenza CC BY-SA 4.0.