Continuità e limiti
I limiti sono il fondamento del calcolo infinitesimale.
Il limite di \(f(x)\) per \(x \to x_0\) è il valore \(L\) verso cui \(f(x)\) tende quando \(x\) si avvicina arbitrariamente a \(x_0\):
\(\lim_{x \to x_0}f(x) = L\)
Proprietà dei limiti
Se \(\lim_{x \to x_0}f(x) = L\) e \(\lim_{x \to x_0}g(x) = M\):
- \(\lim[f + g] = L + M\)
- \(\lim[f - g] = L - M\)
- \(\lim[f \cdot g] = L \cdot M\)
- \(\lim\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{L}{M}\) (se \(M \neq 0\))
- \(\lim[f^n] = L^n\)
Limiti notevoli
\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\) \(\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1\) \(\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\) \(\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\)
Forme indeterminate
| Forma | Significato | |---|---| | \(\frac{0}{0}\) | Indeterminazione fondamentale | | \(\frac{\infty}{\infty}\) | Indeterminazione | | \(0 \cdot \infty\) | Indeterminazione | | \(\infty - \infty\) | Indeterminazione | | \(0^0\) | Indeterminazione | | \(1^\infty\) | Indeterminazione | | \(\infty^0\) | Indeterminazione |
Continuità
Una funzione \(f\) è continua in \(x_0\) se:
- \(f(x_0)\) è definita
- \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) esiste
- \(\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\)
\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) non è definita in \(x = 1\).
Tuttavia: \(\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x + 1) = 2\)
Si può "rimuovere" la discontinuità definendo \(f(1) = 2\).
Calcola: \(\lim_{x \to 2}(3x + 1)\)
Calcola: \(\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}\)
La funzione \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x \neq 2 \\ 5 & \text{se } x = 2 \end{cases}\) è continua in \(x = 2\)?