Funzioni: teoria e classificazione
Lo studio sistematico delle funzioni è il cuore dell'analisi matematica.
Una funzione \(f: A \to B\) associa a ogni elemento \(x \in A\) uno e un solo elemento \(y \in B\). Si scrive \(y = f(x)\).
Proprietà delle funzioni
Parità
- \(f\) è pari se \(f(-x) = f(x)\) per ogni \(x\) (simmetrica rispetto all'asse y)
- \(f\) è dispari se \(f(-x) = -f(x)\) per ogni \(x\) (simmetrica rispetto all'origine)
Monotonia
- Crescente: \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)\)
- Decrescente: \(x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)\)
Composizione di funzioni
La composizione \(f \circ g\) è definita da \((f \circ g)(x) = f(g(x))\).
Se \(f(x) = x^2\) e \(g(x) = x + 1\):
\((f \circ g)(x) = f(x + 1) = (x + 1)^2\) \((g \circ f)(x) = g(x^2) = x^2 + 1\)
Nota: \(f \circ g \neq g \circ f\) in generale!
Funzione inversa
La funzione inversa \(f^{-1}\) esiste se e solo se \(f\) è biiettiva. Si ha \(f^{-1}(f(x)) = x\) e \(f(f^{-1}(y)) = y\).
\(f(x) = 2x + 3\) è biiettiva.
\(y = 2x + 3 \implies x = \frac{y - 3}{2}\)
\(f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\)
Classificazione delle funzioni
| Tipo | Forma | Dominio | |---|---|---| | Polinomiale | \(a_nx^n + \cdots + a_0\) | \(\mathbb{R}\) | | Razionale | \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{Q(x) = 0\}\) | | Irrazionale | \(\sqrt[n]{P(x)}\) | Dipende dal radicando | | Esponenziale | \(a^x\) (\(a > 0, a \neq 1\)) | \(\mathbb{R}\) | | Logaritmica | \(\log_a(x)\) | \((0, +\infty)\) | | Trascendente | \(\sin x, \cos x, \tan x\) | Dipende |
Se \(f(x) = 3x - 1\) e \(g(x) = x^2\), calcola \((f \circ g)(2)\).
Trova l'inversa di \(f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}\).