Funzioni esponenziali e logaritmiche
Crescita moltiplicativa
Una quantità segue un modello esponenziale quando, a intervalli uguali, viene moltiplicata per lo stesso fattore.
Per \(a>0\) e \(a\neq1\), la funzione esponenziale è \(f(x)=a^x\). È positiva per ogni \(x\), passa per \((0,1)\) ed è crescente se \(a>1\), decrescente se \(0<a<1\).
Il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale:
\(\log_a y=x\quad\Longleftrightarrow\quad a^x=y,\)
con \(y>0\).
Per argomenti positivi: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\), \(\log_a(x/y)=\log_a x-\log_a y\) e \(\log_a(x^k)=k\log_a x\).
Risolvi \(3^{2x-1}=27\). Poiché \(27=3^3\), uguagliamo gli esponenti: \(2x-1=3\), quindi \(x=2\).
\(\log_2(x-1)=3\) richiede prima \(x-1>0\). Dalla definizione \(x-1=2^3\), dunque \(x=9\), che rispetta il dominio.
\(\log(x+y)\) non è \(\log x+\log y\). Le proprietà dei logaritmi riguardano prodotti, quozienti e potenze.
Prova tu
- Risolvi \(5^{x+1}=125\).
- Risolvi \(\log_3(2x-1)=2\), indicando la condizione di esistenza.
- Confronta i grafici di \(2^x\) e \((1/2)^x\).