Derivate e regole di derivazione
La derivata misura il tasso di variazione istantaneo di una funzione.
La derivata di \(f\) in un punto \(x_0\) è:
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\)
Geometricamente, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di \(f\) nel punto \((x_0, f(x_0))\).
Regole di derivazione
Per funzioni differenziabili \(f, g\) e costante \(c\):
| Regola | Derivata | |---|---| | Costante | \(\frac{d}{dx}[c] = 0\) | | Potenza | \(\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}\) | | Costante per funzione | \(\frac{d}{dx}[cf] = cf'\) | | Somma | \(\frac{d}{dx}[f + g] = f' + g'\) | | Differenza | \(\frac{d}{dx}[f - g] = f' - g'\) | | Prodotto | \(\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'\) | | Quoziente | \(\frac{d}{dx}\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) | | Catena | \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\) |
Derivate delle funzioni fondamentali
| Funzione | Derivata | |---|---| | \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) | | \(e^x\) | \(e^x\) | | \(a^x\) | \(a^x \ln(a)\) | | \(\ln(x)\) | \(\frac{1}{x}\) | | \(\sin x\) | \(\cos x\) | | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | | \(\tan x\) | \(\sec^2 x\) |
\(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1\)
\(f'(x) = 12x^3 - 4x + 5\)
\(f(x) = x^2 \cdot e^x\) (prodotto)
\(f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)\)
Applicazioni geometriche
- Retta tangente: \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\)
- Retta normale: \(y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\)
- Punti di massimo/minimo: \(f'(x) = 0\) e \(f''(x) \neq 0\)
Calcola la derivata di \(f(x) = 4x^3 - 2x + 7\).
Calcola \(f'(x)\) se \(f(x) = x^2 \sin x\).
Trova l'equazione della tangente a \(f(x) = x^2\) nel punto \(x = 3\).