Statistica descrittiva

Livello: Prima 50 minPrerequisiti: Numeri razionali

Quando raccogliamo molti dati, una lista di numeri non basta: dobbiamo capire chi o che cosa stiamo osservando, organizzare le risposte, rappresentarle e ricavare poche informazioni affidabili. La statistica descrittiva serve proprio a descrivere un fenomeno attraverso i dati già raccolti.

Il confine di questa lezione è preciso: impariamo a passare da una piccola indagine a una tabella di frequenza, a scegliere un grafico e a interpretare media, mediana, moda e campo di variazione. Varianza, deviazione standard e percentili sono raccolti in un approfondimento facoltativo e non sono necessari per svolgere la scheda di base.

Dalla domanda ai dati

Un'indagine statistica comincia da una domanda concreta: per esempio, quanti libri non scolastici leggono in un mese gli studenti di una classe? Prima di contare dobbiamo definire con precisione che cosa stiamo osservando.

La popolazione è l'insieme delle unità che vogliamo studiare. Una singola persona, oggetto o situazione della popolazione è un'unità statistica. Il carattere è la caratteristica osservata su ogni unità; ciascun valore possibile del carattere è una modalità.

Nel nostro esempio possiamo fissare così il significato delle parole:

Elemento	Nel caso dei libri letti
Popolazione	Gli studenti scelti per l'indagine
Unità statistica	Un singolo studente
Carattere	Numero di libri non scolastici letti nel mese
Modalità	\(0, 1, 2, 3, 4, \ldots\) libri

Se interroghiamo tutti gli elementi della popolazione facciamo un'indagine globale, o censimento. Se ne scegliamo solo una parte facciamo un'indagine a campione. Un campione casuale sceglie le unità con un procedimento casuale, per esempio un sorteggio; un campione stratificato prima divide la popolazione in gruppi e poi sceglie casualmente unità da ciascun gruppo.

Quale tipo di carattere?

Il tipo di carattere suggerisce quali calcoli e quali grafici hanno senso.

Tipo	Che cosa osserviamo	Esempio
Qualitativo sconnesso	Nomi o categorie senza ordine	Colore dello zaino
Qualitativo ordinabile	Categorie che si possono mettere in ordine	Giudizio: insufficiente, base, buono, ottimo
Quantitativo discreto	Numeri separati, spesso conteggi	Numero di libri letti
Quantitativo continuo	Misure che possono assumere tutti i valori di un intervallo	Altezza o tempo impiegato

La media richiede un carattere quantitativo. Per categorie come il colore degli occhi non ha senso sommare i valori: si può invece contare quante volte compare ciascuna modalità e cercare, per esempio, la moda.

Dati grezzi e tabella di frequenza

Le risposte appena raccolte sono i dati grezzi. Le fasi essenziali di una piccola indagine sono: chiarire la domanda, raccogliere le risposte, ordinare e tabulare i dati, analizzarli e rappresentarli.

Prendiamo \(12\) studenti. Le loro risposte, nell'ordine in cui sono state raccolte, sono:

0,\ 2,\ 1,\ 0,\ 3,\ 1,\ 2,\ 0,\ 1,\ 4,\ 2,\ 1.

Questa è la lista grezza: contiene tutte le osservazioni, ma non ci fa ancora vedere subito quale risposta è più comune.

La frequenza assoluta \(f_i\) di una modalità è il numero di volte in cui essa compare. Se \(n\) è il numero totale delle osservazioni, la frequenza relativa è

f_{r,i}=\frac{f_i}{n},

mentre la frequenza percentuale è

f_{\%,i}=100\cdot f_{r,i}=100\cdot\frac{f_i}{n}.

Per il nostro esempio otteniamo:

Modalità \(x_i\)	Frequenza assoluta \(f_i\)	Frequenza relativa \(f_i/12\)	Frequenza percentuale
\(0\)	\(3\)	\(3/12=0{,}25\)	\(25\%\)
\(1\)	\(4\)	\(4/12=0{,}\overline{3}\)	\(33{,}\overline{3}\%\)
\(2\)	\(3\)	\(3/12=0{,}25\)	\(25\%\)
\(3\)	\(1\)	\(1/12\approx0{,}083\)	\(8{,}3\%\)
\(4\)	\(1\)	\(1/12\approx0{,}083\)	\(8{,}3\%\)
Totale	\(12\)	\(1\)	\(100\%\)

Una tabella è controllata quando la somma delle frequenze assolute è \(n\) e la somma delle frequenze relative è \(1\). Le percentuali arrotondate possono dare \(99{,}9\%\) o \(100{,}1\%\): non è un errore di conteggio, ma l'effetto dell'approssimazione. Con le frazioni esatte il totale è sempre \(100\%\).

Scegliere il grafico

Un grafico non deve solo essere decorativo: deve rendere più leggibile una relazione già presente nella tabella.

Situazione	Rappresentazione adatta	Perché
Categorie o conteggi discreti	Diagramma a barre o a colonne	Confronta direttamente le frequenze
Misure continue raggruppate in intervalli	Istogramma	Le colonne adiacenti mostrano classi senza interruzioni
Andamento nel tempo o tra valori ordinati	Grafico cartesiano a linee	Evidenzia l'evoluzione tra osservazioni successive
Parti di un totale con poche categorie	Areogramma	Mostra come il totale si divide in percentuali

Per il numero di libri letti usiamo un diagramma a colonne: le modalità sono discrete e le colonne hanno altezza pari alla frequenza assoluta.

Diagramma a colonne: zero libri ha frequenza 3, un libro frequenza 4, due libri frequenza 3, tre libri frequenza 1, quattro libri frequenza 1 — Il caso guida rappresentato con le frequenze assolute.
La colonna più alta corrisponde a un libro: è la modalità più frequente.

Non usare un istogramma per categorie come “autobus”, “bicicletta” e “a piedi”: lì non esistono intervalli numerici contigui. E non usare un grafico a linee per collegare conteggi senza un ordine naturale, perché la linea suggerirebbe un andamento che i dati non garantiscono.

Tre indici per descrivere il centro

Gli indici di posizione riassumono il centro dei dati, ma rispondono a domande diverse.

Media aritmetica

La media aritmetica è la somma dei valori divisa per il loro numero:

\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.

Quando usiamo una tabella di frequenza, ogni modalità va contata tante volte quanto indica la sua frequenza. Il simbolo \(\sum\), chiamato sommatoria, indica di sommare i termini per tutte le modalità della tabella:

\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}.

Per i \(12\) studenti la somma può essere calcolata direttamente dai dati grezzi oppure dalla tabella:

\bar{x}=\frac{0\cdot3+1\cdot4+2\cdot3+3\cdot1+4\cdot1}{12} =\frac{17}{12}\approx1{,}42.

In questo gruppo sono stati letti in media circa \(1{,}42\) libri per studente. La media può non essere una modalità osservata: \(1{,}42\) libri per studente non compaiono nella lista, ma il numero è un riassunto del gruppo.

Mediana

Per dati quantitativi, la mediana richiede di ordinare i dati. È il valore centrale; se i dati sono in numero pari, è la media dei due valori centrali. Per categorie ordinabili si possono individuare le posizioni centrali, ma non si può calcolare una media aritmetica tra nomi di categorie.

Nel caso guida l'ordine è

$ 0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,4. $

I valori centrali sono il sesto e il settimo, entrambi uguali a \(1\): la mediana è quindi \(1\).

Moda

La moda è la modalità con frequenza assoluta maggiore. Nel caso guida la moda è \(1\), perché compare \(4\) volte. Se due o più modalità hanno la stessa frequenza massima, la distribuzione è bimodale o multimodale.

Consideriamo i dati ordinati \(4,5,5,6,30\). La media è

\bar{x}=\frac{4+5+5+6+30}{5}=10,

mentre la mediana è \(5\) e la moda è \(5\). Il valore \(30\) è molto lontano dagli altri: trascina la media verso l'alto, ma non sposta la mediana oltre il centro dell'elenco. Per descrivere il valore tipico di questo piccolo gruppo, la mediana è più rappresentativa.

Media, mediana e moda non sono sinonimi: la media usa tutti i valori, la mediana usa la posizione dopo l'ordinamento e la moda usa la frequenza più alta. Prima di scegliere un indice chiediti quale informazione vuoi conservare.

Quanto sono sparsi i dati?

Il campo di variazione o intervallo è la differenza tra il massimo e il minimo:

R=x_{\max}-x_{\min}.

Nel caso guida \(R=4-0=4\). È un primo indice di variabilità, ma guarda solo ai due estremi e non racconta che cosa succede tra loro.

Approfondimento facoltativo: scarti, varianza e percentili

Per studiare meglio la dispersione si può calcolare lo scarto \(x_i-\bar{x}\), la varianza della popolazione

\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

e la deviazione standard \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\). Una deviazione standard piccola indica dati raccolti vicino alla media; una grande indica dati più dispersi. Questi indici hanno la stessa unità di misura solo dopo l'estrazione della radice, quindi la deviazione standard è più facile da interpretare.

I percentili indicano una posizione nella distribuzione ordinata: il 25° e il 75° sono il primo e il terzo quartile; il 50° descrive il centro della distribuzione. Sono utili per confrontare posizioni relative, ma richiedono una convenzione esplicita quando i dati sono pochi. Con la convenzione usata nella scheda si sceglie il primo dato per cui la percentuale di osservazioni minori o uguali raggiunge quella richiesta (frequenza cumulata percentuale). Per un numero pari di dati, il 50° percentile così calcolato può differire dalla mediana definita come media dei due valori centrali: per \(1,2,3,4\) vale \(2\), mentre la mediana è \(2{,}5\).

Prova tu

In un'indagine sui mezzi usati per arrivare a scuola partecipano \(24\) studenti. Indica popolazione, unità statistica, carattere e tipo di carattere. Scrivi anche tre possibili modalità.

In una classe di \(20\) studenti, \(8\) preferiscono il bus, \(7\) la bicicletta e \(5\) vanno a piedi. Calcola la frequenza relativa e la frequenza percentuale di ciascuna modalità e verifica i totali.

Per i dati ordinati \(2,3,3,4,8\) calcola media, mediana e moda. Spiega in una frase perché i tre risultati non coincidono necessariamente.

Per i tempi di percorrenza in minuti \(12,13,13,14,15,45\), quale tra media e mediana descrive meglio un tempo tipico? Calcola entrambi gli indici e motiva la scelta.

Per esercitarti con dati, frequenze, grafici e indici in ordine crescente, apri la scheda di statistica descrittiva. Gli esercizi sulla varianza e sui percentili sono raccolti nella sezione facoltativa della stessa scheda: puoi affrontarli dopo aver consolidato il percorso base.

Continua con

Probabilità: concetti principali per passare dalla descrizione dei dati allo studio degli eventi casuali.
Scheda di statistica descrittiva per risolvere un'indagine completa con tabella e interpretazione.

La fonte principale è Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, versione 1.1.1 (febbraio 2026), coordinata da Daniele Zambelli, capitolo 10, sezioni 10.1–10.9, PDF pp. 349–375. Gli esercizi della scheda sono selezionati e adattati dalle pp. 376–389. Questa pagina è un adattamento editoriale originale distribuito con licenza CC BY-SA 4.0.