Goniometria e trigonometria
La goniometria studia le relazioni tra angoli e lati dei triangoli.
La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio \(1\) centrata nell'origine del piano cartesiano. Ad ogni angolo \(\alpha\) corrisponde un punto \(P(\cos \alpha, \sin \alpha)\).
Funzioni goniometriche fondamentali
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
Valori notevoli
| \(\alpha\) | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | |---|---|---|---|---|---| | \(\sin\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | | \(\cos\alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | | \(\tan\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | — |
Formule di addizione
\(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta\) \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta\) \(\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}\)
Formule di duplicazione
\(\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha\) \(\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha\)
Equazioni goniometriche
- \(\sin x = a\): soluzioni se \(-1 \leq a \leq 1\)
- \(\cos x = a\): soluzioni se \(-1 \leq a \leq 1\)
- \(\tan x = a\): sempre risolubile
Per \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) oppure \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
Risolvere: \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Le soluzioni nel periodo \([0, 2\pi)\) sono: \(x = \frac{\pi}{6}\) e \(x = \frac{11\pi}{6}\).
Soluzione generale: \(x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
Calcola \(\sin 60° + \cos 30°\).
Verifica che \(\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1\).