Geometria euclidea — Dagli assiomi ai criteri di congruenza
Un disegno aiuta a vedere una figura, ma non basta per dimostrare che due figure hanno davvero le stesse proprietà. La geometria euclidea costruisce ragionamenti controllabili partendo da un piccolo linguaggio, da alcune affermazioni di base e da proposizioni già dimostrate.
Alla fine della lezione saprai distinguere definizioni, assiomi e proposizioni, leggere una corrispondenza tra vertici e scegliere tra LAL, LLL e ALA quando i dati lo permettono.
Il confine della lezione è intenzionale: introduciamo gli strumenti necessari per i criteri e leggiamo una dimostrazione breve. Le costruzioni complete con riga e compasso, la rete delle dipendenze tra tutte le proposizioni e la geometria interattiva restano approfondimenti.
Dal disegno al ragionamento
La geometria usa alcuni termini primitivi, cioè idee che non vengono definite attraverso concetti ancora più semplici nel sistema scelto, come punto e retta. A partire da questi introduciamo anche segmenti, semirette e angoli. Per il nostro primo linguaggio bastano queste descrizioni:
- un punto, indicato con una lettera maiuscola;
- una retta, che contiene punti e si può prolungare in entrambe le direzioni;
- un segmento, parte di retta delimitata da due estremi;
- una semiretta, parte di retta con un solo estremo;
- un angolo, formato da due semirette con la stessa origine, detta vertice.
Un disegno rappresenta queste idee, ma non è l'oggetto geometrico perfetto. Per questo distinguiamo il ruolo delle frasi che usiamo:
| Parola | Che cosa indica | Esempio |
|---|---|---|
| definizione | stabilisce il significato di un termine | un triangolo ha tre lati |
| assioma | affermazione accettata senza dimostrazione nel sistema | per due punti distinti passa una sola retta |
| proposizione o teorema | affermazione dimostrata usando definizioni, assiomi e risultati precedenti | gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti |
| criterio | insieme di dati sufficiente per riconoscere una proprietà | LLL permette di riconoscere triangoli congruenti |
In una dimostrazione, l'ipotesi è ciò che viene dato o assunto; la tesi è ciò che dobbiamo concludere. Un criterio è una regola che permette di concludere la congruenza da alcuni dati, senza confrontare uno alla volta tutti gli infiniti punti delle figure.
Nell'affermazione «se \(AB \cong AC\) in un triangolo \(ABC\), allora \(\angle ABC \cong \angle ACB\)», l'ipotesi è \(AB \cong AC\) e la tesi è \(\angle ABC \cong \angle ACB\). L'affermazione è una proposizione: non è una semplice definizione e non viene assunta senza motivo.
Congruenza e corrispondenza
Due figure sono congruenti quando hanno la stessa forma e la stessa dimensione: una può essere sovrapposta all'altra con un movimento rigido, come una traslazione, una rotazione o un ribaltamento. Si usa il simbolo \(\cong\).
Per i triangoli è essenziale dichiarare l'ordine dei vertici. Scrivere \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) significa stabilire questa corrispondenza:
Di conseguenza corrispondono anche gli elementi:
e
Le lettere non si possono abbinare “a vista”. Se \(AB \cong DE\) e \(BC \cong EF\), il vertice \(B\) corrisponde a \(E\) perché è comune ai due lati indicati; la corrispondenza va poi controllata anche sul terzo lato e sugli angoli.
La congruenza si comporta come una relazione di equivalenza: ogni figura è congruente a sé stessa, se \(A \cong B\) allora \(B \cong A\), e se \(A \cong B\) e \(B \cong C\) allora \(A \cong C\). Queste proprietà spiegano perché possiamo trasferire un dato, confrontare due figure e concatenare conclusioni.
Gli strumenti geometrici che servono
Useremo poche costruzioni e proprietà, senza svilupparne tutte le dimostrazioni:
- due rette perpendicolari formano angoli retti;
- una bisettrice divide un angolo in due angoli congruenti;
- un triangolo isoscele ha due lati congruenti;
- un triangolo equilatero ha tre lati congruenti.
Un angolo retto misura \(90^\circ\); un angolo piatto, formato da due semirette opposte, misura \(180^\circ\). Il punto medio di un segmento appartiene al segmento e lo divide in due segmenti congruenti.
Questi nomi permettono di descrivere le ipotesi in modo preciso. Per esempio, se \(M\) è il punto medio di \(BC\), allora \(BM \cong MC\); se \(AD\) è una bisettrice, i due angoli che crea sono congruenti.
Un angolo è compreso tra due lati quando le semirette che lo delimitano contengono proprio quei due segmenti. In \(\triangle ABC\), \(\angle BAC\) è compreso tra \(AB\) e \(AC\), mentre \(\angle ABC\) non è compreso tra \(AB\) e \(AC\).
Il criterio LAL: lato-angolo-lato
Come nel percorso della fonte, assumiamo LAL come regola di base, senza dimostrarlo. Anche LLL sarà usato senza dimostrazione; ALA può invece essere dimostrato a partire da LAL e dalle proprietà degli angoli. Il nome «criterio» indica come usare una regola, non se è un assioma o un teorema.
LAL. Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l'angolo compreso tra quei lati, allora i triangoli sono congruenti.
Per esempio:
Il controllo da fare è sempre lo stesso:
- individua i due lati congruenti;
- verifica che le semirette dell'angolo dato contengano i due lati indicati;
- ordina i vertici secondo la corrispondenza;
- solo allora nomina LAL.
Siano \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\) e \(\angle ABC \cong \angle DEF\). L'angolo è compreso tra \(AB\) e \(BC\), così come \(\angle DEF\) è compreso tra \(DE\) e \(EF\). Il vertice comune \(B\) corrisponde a \(E\); quindi \(A \leftrightarrow D\) e \(C \leftrightarrow F\). I dati sono dunque LAL e permettono di concludere:
Perché l'angolo deve essere compreso?
Due lati e un angolo qualsiasi non bastano sempre. Considera, per esempio, \(AB=10\), \(AC=6\) e \(\angle ABC=30^\circ\). Il punto \(C\) deve trovarsi:
- sul raggio che parte da \(B\) e forma \(30^\circ\) con \(BA\);
- sulla circonferenza di centro \(A\) e raggio \(6\).
In questa configurazione il raggio può incontrare la circonferenza in due punti: si ottengono due triangoli diversi con gli stessi dati. L'angolo dato non è quello compreso tra i due lati noti \(AB\) e \(AC\), quindi non possiamo applicare LAL.
La configurazione “due lati e un angolo non compreso” viene spesso indicata come SSA. Non è un criterio generale di congruenza: prima di usare LAL devi controllare che l'angolo sia incastrato tra i due lati forniti.
Il criterio LLL: lato-lato-lato
LLL. Se due triangoli hanno tutti e tre i lati rispettivamente congruenti, allora sono congruenti e lo sono anche tutti gli angoli corrispondenti.
Con LLL non serve conoscere prima un angolo. La terna di lati determina il triangolo, a meno di sovrapporlo con un ribaltamento; il ribaltamento non cambia la congruenza.
Sono dati \(AB \cong PQ\), \(BC \cong QR\) e \(AC \cong PR\). I lati con estremi comuni \(B\) e \(Q\) corrispondono, quindi \(B \leftrightarrow Q\). Da \(AB \leftrightarrow PQ\) segue \(A \leftrightarrow P\), e da \(BC \leftrightarrow QR\) segue \(C \leftrightarrow R\). Le tre coppie di lati sono congruenti: il criterio è LLL e
Tre angoli congruenti non formano un criterio di congruenza: fissano la forma, ma non la dimensione. Due triangoli simili possono avere gli stessi angoli e lati di lunghezza diversa.
Il criterio ALA: angolo-lato-angolo
ALA. Se due triangoli hanno due angoli e il lato compreso tra questi angoli rispettivamente congruenti, allora sono congruenti.
In una notazione ordinata:
Il nome si legge come una lista: primo angolo, lato in mezzo, secondo angolo. Se il lato noto non è compreso tra i due angoli, molti testi chiamano il caso AAL (angolo-angolo-lato); con due angoli e un lato, anche quel caso permette di ricostruire il terzo angolo e di concludere la congruenza. Infatti la somma degli angoli interni di un triangolo euclideo è \(180^\circ\): il terzo angolo si ottiene sottraendo da \(180^\circ\) i due noti. Si può quindi applicare ALA usando il lato dato e gli angoli ai suoi estremi.
Supponiamo che \(\angle ABC \cong \angle DEF\), \(BC \cong EF\) e \(\angle ACB \cong \angle DFE\). Il lato \(BC\) è compreso tra gli angoli in \(B\) e in \(C\), mentre \(EF\) è compreso tra gli angoli in \(E\) e in \(F\). Quindi la corrispondenza è \(B \leftrightarrow E\), \(C \leftrightarrow F\), \(A \leftrightarrow D\): il criterio è ALA e
Due angoli congruenti senza alcun lato non bastano per la congruenza: si possono ingrandire o rimpicciolire entrambi i triangoli. Anche la frase “due angoli e un lato” va controllata: bisogna associare correttamente i vertici e verificare che il lato abbia la posizione dichiarata.
Leggere una dimostrazione breve: il triangolo isoscele
Consideriamo un triangolo \(ABC\) con \(AB \cong AC\). Vogliamo dimostrare che gli angoli alla base sono congruenti:
La strategia è confrontare il triangolo \(ABC\) con lo stesso triangolo letto nell'ordine \(ACB\):
- \(AB \cong AC\) per ipotesi;
- \(\angle BAC \cong \angle CAB\) perché è lo stesso angolo in \(A\);
- \(AC \cong AB\) per simmetria della congruenza.
I dati sono LAL, quindi \(\triangle ABC \cong \triangle ACB\). Gli angoli corrispondenti in \(B\) e in \(C\) sono congruenti. In questo esempio:
- l'ipotesi è \(AB \cong AC\);
- il criterio usato è LAL;
- la tesi è \(\angle ABC \cong \angle ACB\).
La stessa idea ricompare quando si dimostra che, in un triangolo isoscele, la bisettrice dell'angolo al vertice può essere anche mediana e perpendicolare alla base: si confrontano due triangoli e si usa ciò che la congruenza rende conoscibile.
Prova tu
Scegli e motiva il criterio
es-geo-cong-001Sono dati \(AB \cong DE\), \(BC \cong EF\) e \(\angle ABC \cong \angle DEF\). Indica il criterio che puoi usare, spiega perché l'angolo è nella posizione richiesta e scrivi la corrispondenza dei vertici.
Controlla una corrispondenza LLL
es-geo-cong-002Sono dati \(AB \cong PQ\), \(BC \cong QR\) e \(AC \cong PR\). Scrivi l'ordine corretto dei vertici nella relazione di congruenza e indica il criterio.
Due angoli e un lato
es-geo-cong-003Sono dati \(\angle ABC \cong \angle DEF\), \(BC \cong EF\) e \(\angle BCA \cong \angle DFE\). Indica il criterio e spiega perché il lato dato è quello compreso.
Dati insufficienti
es-geo-cong-004Sono dati \(AB \cong DE\), \(AC \cong DF\) e \(\angle ABC \cong \angle DEF\). È sufficiente per applicare LAL? Motiva la risposta usando la posizione dell'angolo.
Continua con
- Il piano cartesiano per ripassare il linguaggio di punti e segmenti nel piano;
- Allenamento sui criteri di congruenza per esercizi graduati con suggerimenti e soluzioni;
- Quadrilateri per usare la congruenza nello studio di figure con più lati.
Questa lezione è un adattamento editoriale originale di Matematica Libera, Volume 1, capitolo 5, sezioni 5.2–5.7 e 5.9–5.11, PDF pp. 169–200 (pagine stampate 157–188). Gli esercizi collegati rielaborano i nuclei delle pp. 221–230 (pagine stampate 209–218). La fonte è distribuita con licenza CC BY-SA 4.0; le costruzioni interattive e le dimostrazioni lunghe del capitolo restano fuori perimetro.