Equazioni e disequazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado generalizzano quelle di primo grado.
Un'equazione di secondo grado ha la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) con \(a \neq 0\).
Classificazione
| Tipo | Forma | Esempio | |---|---|---| | Pura | \(ax^2 + c = 0\) | \(x^2 - 9 = 0\) | | Spurìa | \(ax^2 + bx = 0\) | \(x^2 - 4x = 0\) | | Monomia | \(ax^2 = 0\) | \(x^2 = 0\) | | Completa | \(ax^2 + bx + c = 0\) | \(2x^2 - 3x + 1 = 0\) |
La formula risolutiva
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
dove \(\Delta = b^2 - 4ac\) è il discriminante.
- Se \(\Delta > 0\): due soluzioni reali distinte
- Se \(\Delta = 0\): una soluzione doppia
- Se \(\Delta < 0\): nessuna soluzione reale
Risolvere: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1\)
\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\)
\(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\)
Soluzioni: \(x = 2\) e \(x = 3\)
Relazioni di Viète
Per \(ax^2 + bx + c = 0\) con soluzioni \(x_1, x_2\):
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
Risolvere: \(x^2 - 16 = 0\)
Calcola \(\Delta\) e determina il numero di soluzioni di: \(3x^2 + 2x + 1 = 0\)