Sistemi di equazioni
Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni con più incognite che devono essere soddisfatte contemporaneamente.
Un sistema di equazioni è un gruppo di equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. La soluzione del sistema è l'insieme dei valori delle incognite che soddisfano tutte le equazioni.
Metodi di risoluzione
1. Sostituzione
Si esprime una incognita in termini dell'altra e si sostituisce.
2. Confronto
Si isolano le stesse incognite in entrambe le equazioni e si eguagliano.
3. Riduzione (o addizione)
Si sommano o sottraggono le equazioni per eliminare un'incognita.
\(\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}\)
Dalla prima: \(y = 7 - x\). Sostituisco nella seconda:
\(2x - (7 - x) = 5\) \(2x - 7 + x = 5\) \(3x = 12\) \(x = 4\)
Quindi \(y = 7 - 4 = 3\).
Soluzione: \((4, 3)\)
\(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 2y = 4 \end{cases}\)
Sommando membro a membro (si elimina \(y\)):
\(4x = 16\) \(x = 4\)
Sostituendo: \(4 - 2y = 4\), quindi \(y = 0\).
Soluzione: \((4, 0)\)
Classificazione
| Tipo | Descrizione | Numero di soluzioni | |---|---|---| | Determinato | Le rette si intersecano in un punto | Una | | Impossibile | Le rette sono parallele | Nessuna | | Indeterminato | Le rette coincidono | Infinite |
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases}\)