Equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado generalizzano quelle di primo grado.
Un'equazione di secondo grado ha la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) con \(a \neq 0\).
La formula risolutiva
Le soluzioni si trovano con la formula:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Il discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\) determina il numero di soluzioni:
- Se \(\Delta > 0\): due soluzioni reali distinte
- Se \(\Delta = 0\): una soluzione doppia (retta tangente)
- Se \(\Delta < 0\): nessuna soluzione reale
Risolvere: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
\(\Delta = 25 - 24 = 1 > 0\) → due soluzioni
\(x = \frac{5 \pm 1}{2}\) \(x_1 = 3, \quad x_2 = 2\)
Risolvere: \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
\(\Delta = 16 - 16 = 0\) → una soluzione doppia
\(x = \frac{4}{2} = 2\)
Dimenticare il \(\pm\) nella formula risolutiva porta a perdere una soluzione!
Fattorizzazione
Se \(x_1\) e \(x_2\) sono le soluzioni:
\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\)
\(x^2 - 7x + 12 = 0\)
\(x^2 + x + 1 = 0\) — Quante soluzioni reali ha?
Un rettangolo ha area \(12\text{ cm}^2\) e perimetro \(14\text{ cm}\). Qual è la lunghezza dei lati?