Rapporti, proporzioni e percentuali
Confrontare due quantità aiuta a capire una situazione meglio dei valori presi singolarmente. In questa lezione impariamo a usare rapporti, proporzioni e percentuali per confrontare grandezze, risolvere problemi diretti e inversi, leggere una scala e descrivere variazioni e sconti.
Il confine è preciso: qui costruiamo gli strumenti fondamentali e li usiamo in problemi brevi; gli esercizi più numerosi e le applicazioni miste proseguono nella scheda di esercizi su percentuali, proporzioni e scale.
Dalle grandezze al rapporto
Il rapporto tra due quantità è il quoziente tra la prima e la seconda. Se le indichiamo con \(a\) e \(b\), scriviamo
Il primo termine si chiama antecedente, il secondo conseguente. Il loro ordine conta: \(3:5\) e \(5:3\) non descrivono lo stesso confronto. Quando le quantità hanno la stessa unità di misura, prima di dividere devono essere espresse in unità compatibili.
Un rapporto confronta due quantità stabilendo quante volte la seconda è contenuta nella prima, oppure quanta parte rappresenta la prima rispetto alla seconda. Rapporti equivalenti si ottengono moltiplicando o dividendo entrambi i termini per lo stesso numero diverso da zero.
In una scatola ci sono \(12\) penne blu e \(8\) penne rosse. Il rapporto tra blu e rosse è \(12:8=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.\) Se invece confrontiamo le penne blu con tutte le penne, il rapporto è \(12:(12+8)=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.\) Le due frazioni rispondono a domande diverse: blu rispetto alle rosse e blu rispetto al totale.
Un rapporto tra grandezze con unità diverse può avere a sua volta un'unità: per esempio, \(150\text{ km}:3\text{ h}=50\text{ km/h}\) è una velocità. Non si cancellano le unità quando non sono uguali.
Quando due rapporti sono uguali
Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti:
In una proporzione, \(a\) e \(d\) sono gli estremi, mentre \(b\) e \(c\) sono i medi. La proprietà fondamentale permette di controllare la proporzione o di trovare un termine incognito:
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi: \(a:b=c:d\quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot d=b\cdot c.\) Il prodotto incrociato è uno strumento di calcolo: prima bisogna verificare che i termini occupino ruoli e unità coerenti.
In una ricetta il rapporto tra farina e acqua è \(3:5\). Se l'acqua è \(40\) g, quanti grammi di farina servono? Scriviamo la proporzione nella stessa posizione dei termini:
Applicando il prodotto incrociato:
Servono \(24\) g di farina. Il rapporto di controllo è \(24:40=3:5\).
Non scambiare i termini solo per ottenere un calcolo più comodo. Se \(x\) è la quantità di farina, deve stare al posto della farina in entrambi i rapporti; altrimenti si sta risolvendo un'altra proporzione.
La percentuale: un rapporto su cento
La percentuale è un rapporto con denominatore \(100\):
Per passare dalla percentuale al numero decimale si divide per \(100\); per passare dal numero decimale alla percentuale si moltiplica per \(100\). Per esempio,
Quando una percentuale descrive una parte del totale, chiamiamo \(r\) il numero decimale corrispondente alla percentuale. Le tre formule fondamentali sono:
La formula da scegliere dipende dalla domanda: non bisogna cercare sempre una percentuale quando l'incognita è invece una quantità.
Per calcolare \(r\) il totale deve essere diverso da zero; per risalire al totale dividendo per \(r\), anche \(r\) deve essere diverso da zero. Una parte pari a zero con percentuale \(0\%\) non permette di determinare il totale.
Trovare la parte
In una biblioteca ci sono \(250\) libri e il \(18\%\) sono di storia. Quanti sono i libri di storia? Il \(18\%\) è \(0{,}18\), quindi
I libri di storia sono \(45\).
Trovare il totale
I \(45\) libri di storia rappresentano il \(18\%\) della biblioteca. Quanti libri ci sono in tutto? Ora la parte è nota e il totale è l'incognita:
Non si calcola il \(18\%\) di \(45\): si divide la parte per la percentuale, perché \(45\) è già il risultato della percentuale applicata al totale.
Trovare la percentuale
In una biblioteca di \(250\) libri, \(45\) sono di storia. Qual è la percentuale? Il rapporto parte-totale è
I libri di storia sono il \(18\%\) del totale.
Scale e unità di misura
Una scala confronta una lunghezza sul disegno con la lunghezza reale. La scala \(1:n\) significa che \(1\) unità sul disegno corrisponde a \(n\) unità reali, ma le due unità devono essere dello stesso tipo. Per questo si lavora prima in centimetri e si converte solo alla fine.
Su una carta in scala \(1:25\,000\) una strada misura \(6\) cm. Il rapporto si legge come \(1\text{ cm sulla carta}:25\,000\text{ cm reali}.\) Quindi la distanza reale è
La risposta è \(1{,}5\) km. Non si può moltiplicare direttamente \(6\) cm per \(25\,000\) km: il numero della scala non cambia da solo l'unità di misura.
Variazioni percentuali e punti percentuali
La variazione percentuale confronta la differenza con il valore iniziale. Nei problemi qui trattati il valore iniziale è positivo; se è zero, questa formula non è definita:
Se il nuovo valore è maggiore, la variazione è positiva; se è minore, è negativa. Per applicare direttamente una variazione, si usano i fattori:
Il prezzo di un biglietto passa da \(80\) euro a \(92\) euro. L'aumento è di \(12\) euro, ma la variazione percentuale si calcola rispetto al prezzo iniziale:
Equivalentemente, \(80\cdot1{,}15=92\).
I punti percentuali misurano la differenza tra due percentuali, non la variazione relativa alla percentuale iniziale. Se un consenso passa dal \(40\%\) al \(55\%\), l'aumento è di \(15\) punti percentuali, mentre la variazione percentuale è
Un aumento del \(20\%\) seguito da una diminuzione del \(20\%\) non annulla le variazioni: il fattore complessivo è \(1{,}20\cdot0{,}80=0{,}96.\) Si torna al \(96\%\) del valore iniziale, quindi si è ancora sotto di \(4\%\). La seconda percentuale si applica a una base diversa.
Sconti
Uno sconto è una diminuzione percentuale applicata al prezzo iniziale. Il numero nel simbolo percentuale non è una quantità da sottrarre direttamente: uno sconto del \(20\%\) non significa togliere \(20\) euro, ma togliere il \(20\%\) del prezzo di partenza.
Un articolo costa \(80\) euro ed è scontato del \(15\%\). Lo sconto vale
quindi il prezzo finale è
In un solo passaggio si ottiene lo stesso risultato con il fattore di diminuzione: \(80\cdot0{,}85=68\) euro.
Se conosciamo il prezzo finale dopo uno sconto del \(p\%\), il prezzo finale è il \((100-p)\%\) del prezzo iniziale. Per risalire al prezzo iniziale lo sconto deve essere minore del \(100\%\): con uno sconto del \(100\%\) il prezzo finale è zero e non consente di ricostruire quello iniziale. Per esempio, dopo uno sconto del \(20\%\), un prezzo di \(28\) euro è l'\(80\%\) del prezzo iniziale:
Prova tu
Rapporto tra quantità
es-rap-001Una miscela contiene \(3\) parti di succo e \(5\) parti di acqua. Scrivi il rapporto succo:acqua e indica quale frazione della miscela è succo.
Proporzione e termine incognito
es-rap-002Completa la proporzione \(4:7=x:35\) e controlla il risultato con il prodotto incrociato.
Parte e percentuale
es-rap-003Trova il \(12\%\) di \(350\).
Scala e conversione
es-rap-004In una pianta in scala \(1:10\,000\), una distanza misura \(8\) cm. Quanti metri rappresenta nella realtà? Scrivi tutti i passaggi di conversione.
Per allenarti con livelli graduati, apri la scheda Percentuali, proporzioni e scale, che contiene anche esercizi sulla percentuale incognita, il totale, i punti percentuali e gli sconti. Puoi raggiungere direttamente gli esercizi su parte, totale e scala.
Continua con
- Calcolo letterale: monomi e polinomi per rappresentare con lettere quantità e relazioni.
- Numeri razionali per riprendere frazioni e numeri decimali usati nei rapporti e nelle percentuali.
La fonte principale è Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, versione 1.0.0 (febbraio 2025), di Bruno Stecca, Daniele Zambelli e degli autori di Matematica Dolce: PDF originale, capitolo 3, sezioni 3.7 e 3.9, PDF pp. 89-95 (pp. stampate 77-83), con esercizi selezionati e adattati dalle pp. 93-97 (PDF pp. 105-109). Questa pagina è un adattamento editoriale originale. La fonte dichiara CC BY-SA 3.0 Italia; l'adattamento è distribuito con CC BY-SA 4.0, versione successiva con gli stessi elementi ammessa dall'art. 4.b(ii) della licenza della fonte.