Numeri reali
I numeri reali completano i razionali includendo i numeri irrazionali.
L'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) include tutti i razionali e tutti i numeri irrazionali (che non possono essere scritti come frazione).
Numeri irrazionali
Numeri irrazionali famosi:
| Numero | Valore approssimato | Descrizione | | ---------- | ------------------- | -------------------------------- | | \(\pi\) | 3.14159... | Rapporto circonferenza/diametro | | \(e\) | 2.71828... | Base del logaritmo naturale | | \(\sqrt{2}\) | 1.41421... | Diagonale del quadrato di lato 1 |
\(\sqrt{2}\) è irrazionale: se fosse \(a/b\) in forma ridotta, da \(a^2=2b^2\) seguirebbe che \(a\) è pari; sostituendo si ricaverebbe che anche \(b\) è pari, in contraddizione con la frazione ridotta.
La retta reale
Ogni numero reale corrisponde a un punto sulla retta reale:
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Approssimazioni e intervalli
I numeri irrazionali si usano tramite approssimazioni. Per esempio \(1{,}414<\sqrt2<1{,}415\). Arrotondare a tre cifre decimali dà \(1{,}414\), mentre troncare significa semplicemente fermarsi: le due operazioni non sono equivalenti.
Tra due numeri reali distinti esistono infiniti numeri razionali e infiniti numeri irrazionali: entrambi gli insiemi sono densi nella retta reale.
\(\frac{22} {7}\) è razionale ed è soltanto un'approssimazione di \(\pi\): non sono lo stesso numero.
Classifica: \(\frac{22} {7}\), \(\sqrt{3}\), \(0.333\ldots\), \(\pi^2\)