Polinomi
I polinomi sono espressioni algebriche fondamentali che incontriamo fin dalla scuola secondaria.
Un polinomio è una somma algebrica di monomi. Un monomio è un prodotto di coefficienti numerici e variabili con esponenti interi non negativi.
Forma normale
Un polinomio si dice in forma normale quando non ci sono termini simili. Due termini si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale.
\(3x^2 + 2x - x^2 + 5\) è un polinomio non in forma normale. Riducendo i termini simili: \((3-1)x^2 + 2x + 5 = 2x^2 + 2x + 5\)
Grado di un polinomio
Il grado di un polinomio è il massimo degli gradi dei suoi monomi.
Il grado di un monomio \(ax_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k}\) è la somma \(n_1 + n_2 + \cdots + n_k\). Il grado di un polinomio è il massimo grado dei suoi monomi.
\(P(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7\) ha grado \(3\) (il termine di grado più alto è \(4x^3\)).
Operazioni con i polinomi
Somma
Per sommare due polinomi, si sommano i termini simili:
\((3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 4x + 5) = 4x^2 - 2x + 4\)
Moltiplicazione
Per moltiplicare due polinomi, si applica la proprietà distributiva:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)
Un errore comune è dimenticare di moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo.
Riduci in forma normale: \(5x^2 + 3x - 2x^2 + x - 4\)
Calcola: \((x + 3)(x - 2)\)
Qual è il grado del prodotto di un polinomio di grado \(n\) per uno di grado \(m\)? Dimostra la tua risposta.