Radicali e numeri irrazionali
I numeri irrazionali completano il quadro degli insiemi numerici.
Un radicale è un'espressione della forma \(\sqrt[n]{a}\) dove \(n\) è l'indice della radice e \(a\) è il radicando.
In particolare, \(\sqrt{a} = \sqrt[2]{a}\) indica la radice quadrata di \(a\).
Proprietà dei radicali
Per \(a,b\ge0\): \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) Per \(a\ge0\) e \(b>0\): \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) \((\sqrt{a})^2 = a\) \(\sqrt{a^2} = |a|\)
Semplificare e razionalizzare
Si estraggono dal radicale i fattori che sono potenze perfette: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\). Radicali simili possono poi essere sommati: \(3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2\).
\(\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}.\)
In generale \(\sqrt{a + b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). Per esempio \(\sqrt{9 + 16}=5\), mentre \(\sqrt9+\sqrt {16}=7\).
Numeri irrazionali
Un numero è irrazionale quando non può essere scritto come frazione \(\frac{a}{b}\) con \(a, b \in \mathbb{Z}\), \(b \neq 0\). La sua rappresentazione decimale è infinita e non periodica.
Numeri irrazionali fondamentali: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e\).
\(\sqrt{2} \approx 1,41421356...\)
La dimostrazione che \(\sqrt{2}\) è irrazionale risale agli antichi greci: si assume che \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\) con \(a, b\) coprimi, si giunge a una contraddizione (entrambi pari), quindi l'assunzione è falsa.
Ampliamento degli insiemi
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
I numeri irrazionali completano \(\mathbb{Q}\) dando origine a \(\mathbb{R}\) (numeri reali).
Semplifica: \(\sqrt{50}\)
Calcola: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}\)