Prodotti notevoli
I prodotti notevoli sono identità algebriche che permettono di sviluppare rapidamente prodotti di polinomi senza fare tutti i calcoli.
Un prodotto notevole è un prodotto di polinomi il cui risultato può essere scritto direttamente applicando una formula prefissata.
Quadrato di un binomio
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)
\((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)
Somma per differenza
\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)
Questa è una delle identità più utili, poiché permette di fattorizzare differenze di quadrati.
\((x + 7)(x - 7) = x^2 - 49\)
\((3x + 2)(3x - 2) = 9x^2 - 4\)
Cubo di un binomio
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
I coefficienti dei prodotti notevoli seguono il triangolo di Tartaglia (o di Pascal).
Molti studenti scrivono \((a + b)^2 = a^2 + b^2\). Questo è sbagliato! Il termine \(2ab\) non può essere omesso.
Verifica con \(a = 2\), \(b = 3\):
\((2 + 3)^2 = 5^2 = 25\)
\(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \neq 25\)
\(2^2 + 2 \times 2 \times 3 + 3^2 = 4 + 12 + 9 = 25 \quad \checkmark\)
Tabella riassuntiva
| Identità | Formula | | ---------------------- | --------------------------------------- | | Quadrato di somma | \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) | | Quadrato di differenza | \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) | | Somma per differenza | \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) | | Cubo di somma | \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) |
Sviluppa: \((x + 4)^2\)
Semplifica: \((x + 6)(x - 6)\)
Sviluppa: \((x + 2)^3\)