Teoria degli insiemi
Gli insiemi sono la base della matematica moderna.
Un insieme è una collezione ben definita di oggetti. Gli oggetti si chiamano elementi dell'insieme.
Si indica con lettere maiuscole (\(A, B, X\)) e gli elementi con lettere minuscole (\(a, b, x\)).
Rappresentazione
| Metodo | Esempio | |---|---| | Enumerativa | \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) | | Per proprietà | \(A = \{x \in \mathbb{N} : x \leq 4\}\) | | Diagrammi di Eulero-Venn | Cerchio con elementi dentro |
Operazioni tra insiemi
\(A \cup B = \{x : x \in A \text{ oppure } x \in B\}\) \(A \cap B = \{x : x \in A \text{ e } x \in B\}\) \(A \setminus B = \{x : x \in A \text{ e } x \notin B\}\) \(A^c = \{x \in U : x \notin A\}\)
Sottoinsiemi
\(A\) è sottoinsieme di \(B\) (\(A \subseteq B\)) se ogni elemento di \(A\) appartiene anche a \(B\).
Se un insieme \(A\) ha \(n\) elementi, il numero di suoi sottoinsiemi è \(2^n\).
\(A = \{1, 2\}\) ha \(2^2 = 4\) sottoinsiemi:
\(\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\)
Legge di De Morgan
\((A \cup B)^c = A^c \cap B^c\) \((A \cap B)^c = A^c \cup B^c\)
Siano \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) e \(B = \{3, 4, 5\}\). Calcola \(A \cup B\) e \(A \cap B\).
Quanti sottoinsiemi ha un insieme con 5 elementi?