Teoria degli insiemi
Raggruppare oggetti secondo una regola chiara permette di descriverli, confrontarli e risolvere problemi senza elencare ogni volta tutte le informazioni. In questa lezione impari a leggere e rappresentare gli insiemi, a confrontarli e a combinarli con le operazioni fondamentali.
Al termine saprai tradurre tra diverse rappresentazioni, distinguere appartenenza e inclusione, calcolare operazioni e intervalli, contare elementi con un diagramma e costruire un prodotto cartesiano. Le relazioni tra coppie e le funzioni saranno il tema della lezione successiva.
Che cos'è un insieme?
Un insieme raccoglie oggetti distinti identificati da un criterio preciso. L'appartenenza di un oggetto deve poter essere stabilita senza dipendere da gusti o impressioni: «le vocali della parola matita» definisce un insieme; «i film più belli» non dà un criterio condiviso per decidere quali elementi includere.
Indichiamo gli insiemi con lettere maiuscole e i loro elementi con lettere minuscole. Le parentesi graffe racchiudono gli elementi.
Se \(x\) è un elemento dell'insieme \(A\), scriviamo \(x\in A\) e leggiamo «\(x\) appartiene ad \(A\)». Se non lo è, scriviamo \(x\notin A\).
Sia \(V\) l'insieme delle vocali della parola «matita». Ogni lettera compare una sola volta nell'insieme, anche se nella parola alcune si ripetono: \(V=\{a,i\}\). Quindi \(a\in V\), mentre \(m\notin V\).
In un insieme l'ordine degli elementi non conta e un elemento ripetuto si scrive una sola volta. Perciò \(\{a,i\}=\{i,a,a\}\). Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi.
Insieme vuoto, universo e cardinalità
L'insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con \(\varnothing\). Non confonderlo con \(\{\varnothing\}\): quest'ultimo ha un elemento, che è a sua volta l'insieme vuoto.
L'insieme universo \(U\) contiene tutti gli elementi che si stanno considerando nel problema. La scelta dipende dal contesto: se \(A\) raccoglie i numeri pari da \(1\) a \(10\), un universo adatto è \(U=\{1,2,\ldots,10\}\).
Per un insieme finito, la cardinalità è il numero dei suoi elementi. Si può scrivere \(|A|\) o \(\operatorname{card}(A)\). Per esempio, se \(A=\{2,4,6\}\), allora \(|A|=3\).
Tre modi per rappresentare un insieme
Lo stesso insieme può essere descritto elencando gli elementi, indicando una proprietà che li seleziona oppure disegnando un diagramma di Eulero-Venn.
Consideriamo i numeri naturali minori di \(5\), includendo lo zero:
- Per elencazione: \(A=\{0,1,2,3,4\}\).
- Per proprietà caratteristica: \(A=\{n\in\mathbb{N}\mid n\lt5\}\).
- Con un diagramma: disegniamo una linea chiusa con etichetta \(A\) e scriviamo al suo interno \(0,1,2,3,4\).
Le tre scritture descrivono gli stessi elementi. Per un insieme infinito o molto grande, la proprietà caratteristica è spesso la forma più pratica.
Nel diagramma di Eulero-Venn la linea chiusa delimita gli elementi dell'insieme; un rettangolo esterno può indicare l'universo. Il diagramma serve a vedere relazioni e operazioni, ma l'etichetta e il contesto devono chiarire quale insieme viene rappresentato.
Rappresentare in due modi
es-ins-001Rappresenta per elencazione e mediante una proprietà caratteristica l'insieme dei numeri naturali pari compresi tra \(2\) e \(10\), estremi inclusi.
Appartenenza e inclusione non sono la stessa cosa
L'appartenenza mette a confronto un oggetto e un insieme: \(3\in A\). L'inclusione mette a confronto due insiemi.
\(B\) è un sottoinsieme di \(A\), scritto \(B\subseteq A\), quando ogni elemento di \(B\) appartiene anche ad \(A\). Se inoltre \(B\ne A\), allora è un sottoinsieme proprio, scritto \(B\subsetneq A\).
Siano \(A=\{1,2,3,4\}\) e \(B=\{2,4\}\). Gli elementi \(2\) e \(4\) di \(B\) sono entrambi in \(A\), quindi \(B\subsetneq A\). Invece \(3\in A\) è un'affermazione di appartenenza: \(3\) è un elemento, non un insieme.
L'insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme, perché non contiene un elemento che possa violare la condizione. Anche ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso. Se \(A\) è finito e ha \(n\) elementi, il suo insieme delle parti \(\mathcal{P}(A)\) raccoglie tutti i suoi sottoinsiemi e ne contiene \(2^n\).
Se \(A=\{a,b\}\), allora \(\mathcal{P}(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\). Ci sono \(2^2=4\) sottoinsiemi: il vuoto, i due sottoinsiemi con un elemento e \(A\) stesso.
\(2\in\{1,2,3\}\) è vero, ma \(\{2\}\in\{1,2,3\}\) è falso: il secondo insieme contiene il numero \(2\), non l'insieme \(\{2\}\). È invece vero che \(\{2\}\subseteq\{1,2,3\}\).
Appartenenza o inclusione
es-ins-002Sia \(A=\{0,2,4\}\). Stabilisci quali affermazioni sono vere e correggi quelle false: \(2\in A\), \(\{2\}\in A\), \(\{2\}\subseteq A\), \(\varnothing\subseteq A\).
Unire, confrontare e togliere elementi
Per calcolare le operazioni tra insiemi, conviene controllare ogni elemento una volta sola. Consideriamo \(A=\{1,2,3,4\}\) e \(B=\{3,4,5\}\).
- L'unione \(A\cup B\) contiene gli elementi che appartengono ad \(A\), a \(B\) o a entrambi.
- L'intersezione \(A\cap B\) contiene gli elementi comuni ad \(A\) e \(B\).
- La differenza \(A\setminus B\) contiene gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\).
- La differenza simmetrica \(A\triangle B\) contiene gli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi.
Con gli insiemi \(A\) e \(B\) sopra:
- \(A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\): raccogliamo entrambi gli insiemi senza ripetere gli elementi comuni;
- \(A\cap B=\{3,4\}\): teniamo solo gli elementi condivisi;
- \(A\setminus B=\{1,2\}\) e \(B\setminus A=\{5\}\): la differenza dipende dall'ordine;
- \(A\triangle B=\{1,2,5\}\): teniamo gli elementi che compaiono in uno solo dei due insiemi.
Nell'unione «o» è inclusivo: un elemento che appartiene a entrambi va comunque contato, ma una sola volta. Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è vuota.
La differenza non è commutativa: in generale \(A\setminus B\) è diversa da \(B\setminus A\). La differenza simmetrica invece non dipende dall'ordine: \(A\triangle B=B\triangle A\).
Complementare e leggi di De Morgan
Il complementare si definisce rispetto a un universo fissato: se \(A\subseteq U\), il complementare di \(A\) in \(U\), scritto \(A^c_U\), è l'insieme degli elementi di \(U\) che non appartengono ad \(A\).
Se \(U=\{1,2,\ldots,10\}\) e \(A=\{2,4,6,8,10\}\), allora \(A^c_U=\{1,3,5,7,9\}\). Cambiando universo può cambiare anche il complementare: perciò va sempre indicato o reso chiaro il contesto.
Per \(A,B\subseteq U\), il complementare scambia unione e intersezione. Queste equivalenze si chiamano leggi di De Morgan:
Per esempio, non essere in \(A\) e non essere in \(B\) equivale a non essere nella loro unione. Le leggi sono utili anche quando si interpretano regioni nei diagrammi.
Intervalli numerici
Qui \(\mathbb{R}\) indica l'insieme dei numeri reali, rappresentati dai punti della retta numerica. Ci basta questa interpretazione per leggere gli intervalli; lo studio dei reali prosegue in un approfondimento successivo.
Un intervallo raccoglie i numeri reali tra due estremi, oppure tutti i numeri da un estremo verso l'infinito. Un estremo chiuso appartiene all'intervallo e si indica con una parentesi quadra rivolta verso l'interno; un estremo aperto è escluso e si indica con una parentesi tonda. Con \(\pm\infty\) si usa sempre un estremo aperto.
\([-2,4)\) si legge «da \(-2\) incluso a \(4\) escluso» e corrisponde a \(\{x\in\mathbb{R}\mid -2\le x\lt4\}\). Sulla retta reale si segna un punto pieno in \(-2\), uno vuoto in \(4\) e si evidenzia il tratto compreso.
| Condizione | Intervallo | Significato degli estremi |
|---|---|---|
| \(a\lt x\lt b\) | \((a,b)\) | entrambi esclusi |
| \(a\le x\le b\) | \([a,b]\) | entrambi inclusi |
| \(a\le x\lt b\) | \([a,b)\) | \(a\) incluso, \(b\) escluso |
| \(a\lt x\le b\) | \((a,b]\) | \(a\) escluso, \(b\) incluso |
| \(x\le b\) | \((-\infty,b]\) | illimitato a sinistra |
| \(x\gt a\) | \((a,+\infty)\) | illimitato a destra |
Anche sugli intervalli si possono calcolare unione, intersezione e differenza: si controllano i tratti comuni e si presta attenzione ai punti estremi aperti o chiusi.
Siano \(I=[-2,3)\) e \(J=(1,5]\). Allora \(I\cup J=[-2,5]\) perché i due intervalli si sovrappongono; \(I\cap J=(1,3)\) contiene i punti comuni; e \(I\setminus J=[-2,1]\), dato che \(1\) non appartiene a \(J\).
Le parentesi dicono se l'estremo appartiene all'insieme. In \([1,4)\) il numero \(1\) è incluso e il numero \(4\) no; non decidere gli estremi basandoti soltanto sul fatto che il segmento disegnato sembri arrivare fino al punto.
Prodotto cartesiano: gli elementi in coppia
Gli elementi di un insieme non hanno un ordine, ma in alcune situazioni l'ordine cambia il significato: il punteggio \((2,3)\) non coincide con \((3,2)\). Per questo costruiamo coppie ordinate con parentesi tonde.
Il prodotto cartesiano \(A\times B\) è l'insieme di tutte le coppie ordinate \((a,b)\) con \(a\in A\) come primo elemento e \(b\in B\) come secondo: \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}\).
Se \(A=\{p,q\}\) e \(B=\{1,2,3\}\), combiniamo ogni elemento di \(A\) con tutti gli elementi di \(B\): \(A\times B=\{(p,1),(p,2),(p,3),(q,1),(q,2),(q,3)\}\). Ci sono \(2\cdot3=6\) coppie. Invece \(B\times A\) contiene coppie come \((1,p)\) e in generale è diverso da \(A\times B\).
Quando entrambi gli insiemi sono finiti, si può controllare l'elenco con una tabella a doppia entrata: una coordinata identifica la riga e l'altra la colonna. Il prodotto cartesiano prepara il linguaggio per descrivere quali coppie sono collegate tra loro. La selezione di coppie e la definizione di relazione sono sviluppate nella lezione successiva.
Usare Eulero-Venn per risolvere un problema
Un diagramma è particolarmente utile per rappresentare gruppi che possono avere elementi in comune. Ogni cerchio descrive un insieme; la sovrapposizione contiene chi appartiene a entrambi. Il rettangolo indica l'universo del problema.
In una classe di \(28\) persone, \(17\) seguono inglese, \(12\) francese e \(5\) entrambi. Le regioni «solo inglese», «entrambi» e «solo francese» contengono rispettivamente \(17-5=12\), \(5\) e \(12-5=7\) persone. Quindi \(|I\cup F|=12+5+7=24\), e \(28-24=4\) persone non seguono nessuno dei due corsi. In forma compatta: \(|I\cup F|=|I|+|F|-|I\cap F|=17+12-5=24\).
Per due insiemi finiti, \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). Si sottrae l'intersezione perché, sommando \(|A|\) e \(|B|\), gli elementi comuni sono contati due volte.
Per allenarti con esercizi graduati su tutte le idee della lezione, apri la scheda Teoria degli insiemi: esercizi guidati.
Continua con
- Relazioni e funzioni per capire come il prodotto cartesiano permette di descrivere relazioni tra elementi;
- la scheda Teoria degli insiemi: esercizi guidati per consolidare rappresentazioni, operazioni, intervalli e problemi.
Questa lezione è un adattamento editoriale originale di Matematica Libera, Matematica Libera volume 1, modulo 02 - Insiemi, relazioni, logica, capitolo 8, sezioni 8.1–8.5 (PDF pp. 277–298). La scheda collegata adatta esercizi selezionati dalla sezione 8.6 (PDF pp. 299–316). Fonte distribuita con licenza CC BY-SA 4.0. Il contenuto sulle relazioni e sulle funzioni resta fuori dal perimetro di questa lezione.