Sistemi di secondo grado
Un sistema è di secondo grado quando, dopo la riduzione, il massimo grado dei suoi termini è due. Geometricamente le soluzioni sono punti comuni alle curve rappresentate dalle equazioni.
Metodo di sostituzione
Quando un'equazione è lineare rispetto a una variabile, conviene isolarla e sostituirla nell'altra.
Risolvi \(\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=13.\end{cases}\)
Sostituendo \(y=x+1\):
\(x^2+(x+1)^2=13\Rightarrow2x^2+2x-12=0.\)
Dividendo per \(2\): \(x^2+x-6=0=(x+3)(x-2)\). Quindi \(x=-3\) oppure \(x=2\).
Da \(y=x+1\) otteniamo le coppie \((-3,-2)\) e \((2,3)\).
Il numero di soluzioni reali coincide con il numero di intersezioni: nessuna, una o più. Il discriminante dell'equazione ottenuta permette spesso di prevederlo.
Controllo
Ogni coppia va sostituita in entrambe le equazioni originali. Questo è indispensabile soprattutto se si sono elevate al quadrato espressioni contenenti radicali.
Una soluzione di un sistema è una coppia ordinata \((x,y)\), non l'elenco separato dei valori trovati per \(x\) e per \(y\).
Prova tu
- Risolvi \(\begin{cases}y=2x\\x^2+y^2=20.\end{cases}\)
- Stabilisci quante intersezioni hanno \(y=x^2\) e \(y=2x-2\).