Valore assoluto, equazioni e disequazioni
Un numero come distanza
Il valore assoluto misura la distanza di un numero da zero; per questo non può essere negativo.
Definizione
\(|x|=\begin{cases}x&\text{se }x\ge0,\\-x&\text{se }x<0.\end{cases}\)
Più in generale \(|x-a|\) è la distanza tra \(x\) e \(a\) sulla retta reale.
Esempio
\(|x-3|=5\) chiede quali punti distano \(5\) da \(3\): \(x=8\) oppure \(x=-2\).
Tre modelli da riconoscere
Per \(k>0\):
- \(|A|=k\) equivale ad \(A=k\) oppure \(A=-k\);
- \(|A|<k\) equivale a \(-k<A<k\);
- \(|A|>k\) equivale ad \(A<-k\) oppure \(A>k\).
Una disequazione
Risolvi \(|2x-1|\le3\).
Scriviamo \(-3\le2x-1\le3\). Sommando \(1\) e dividendo per \(2\) otteniamo \(-1\le x\le2\).
Se \(k<0\), l'equazione \(|A|=k\) non ha soluzioni; invece \(|A|>k\) è sempre vera.
Errore comune
Non è vero che \(|a+b|=|a|+|b|\). Vale soltanto la disuguaglianza triangolare \(|a+b|\le|a|+|b|\).
Prova tu
- Risolvi \(|x+4|=7\).
- Risolvi \(|3x-2|<4\).
- Descrivi con un valore assoluto l'intervallo \([2,8]\).