Integrali definiti e indefiniti
Dal cambiamento all'accumulo
La derivata misura una variazione istantanea; l'integrale ricostruisce una quantità accumulando contributi molto piccoli.
Una funzione \(F\) è una primitiva di \(f\) in un intervallo se \(F'(x)=f(x)\). L'insieme delle primitive si scrive \(\int f(x)\,dx=F(x)+C.\)
Poiché \((x^3/3)'=x^2\), abbiamo \(\int x^2\,dx=\frac{x ^ 3} {3}+C\).
L'integrale definito \(\int_a^b f(x)\,dx\) rappresenta un'area orientata: le parti sotto l'asse \(x\) contribuiscono negativamente.
Teorema fondamentale del calcolo: se \(f\) è continua e \(F'=f\), allora \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).\)
Calcoliamo \(\int_0^2 x^2\,dx\): \(\left[\frac{x ^ 3} {3}\right]_0^2=\frac83.\) Poiché \(x^2\ge0\) nell'intervallo, il valore coincide con l'area geometrica.
Le proprietà di linearità permettono di integrare somme e raccogliere costanti. Per aree geometriche con cambi di segno occorre dividere l'intervallo e integrare \(|f(x)|\).
Nell'integrale indefinito non dimenticare \(+C\); nell'integrale definito, invece, la costante si elimina nella differenza \(F(b)-F(a)\).
Prova tu
- Calcola \(\int(3x^2-4)\,dx\).
- Calcola \(\int_1^3(2x+1)\,dx\).
- Trova l'area tra \(y=x-1\) e l'asse \(x\) nell'intervallo \([0,3]\).