Ellisse e iperbole
Ellisse e iperbole sono coniche: possono essere ottenute intersecando un cono con un piano e descritte mediante distanze da punti fissi, i fuochi.
Ellisse
L'ellisse è il luogo dei punti per cui la somma delle distanze dai fuochi è costante. In forma canonica: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a\ge b>0.\)
I vertici sono \((\pm a,0)\) e \((0,\pm b)\); i fuochi sono \((\pm c,0)\) con \(c^2=a^2-b^2\). L'eccentricità \(e=c/a\) soddisfa \(0\le e<1\).
Per \(\frac{x ^ 2} {25}+\frac{y ^ 2} {9}=1\), \(a=5\), \(b=3\), \(c=4\): i fuochi sono \((\pm4,0)\).
Iperbole
L'iperbole è il luogo dei punti per cui il valore assoluto della differenza delle distanze dai fuochi è costante. In forma canonica: \(\frac{x ^ 2} {a ^ 2}-\frac{y ^ 2} {b ^ 2}=1.\)
I vertici sono \((\pm a,0)\), i fuochi \((\pm c,0)\) con \(c^2=a^2+b^2\) e gli asintoti \(y=\pm\frac ba x\).
Per \(\frac{x ^ 2} {9}-\frac{y ^ 2} {16}=1\), i vertici sono \((\pm3,0)\), i fuochi \((\pm5,0)\) e gli asintoti \(y=\pm\frac43x\).
Nell'ellisse vale \(c^2=a^2-b^2\); nell'iperbole \(c^2=a^2+b^2\). Il segno nell'equazione aiuta a ricordare la differenza.
Prova tu
Trova vertici, fuochi ed eventuali asintoti di \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\) e \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1\).