Il piano cartesiano
Una coppia di numeri può descrivere una posizione: la latitudine e la longitudine individuano un punto sulla Terra, mentre una mappa usa coordinate per indicare un luogo. Il piano cartesiano porta la stessa idea nella geometria: trasforma una posizione in numeri e permette di controllare con i calcoli ciò che vediamo nel disegno.
Alla fine della lezione saprai leggere e rappresentare punti, riconoscere i quadranti, trovare punti medi e distanze e risolvere semplici problemi di perimetro e area. Le equazioni delle rette e lo studio delle coniche appartengono alle lezioni successive.
Un asse per rappresentare i numeri
Un solo asse permette di rappresentare una dimensione, per esempio la posizione di un punto lungo una strada. Per costruirlo servono tre elementi:
Un asse cartesiano è una retta orientata con un'origine, un verso e un'unità di misura. L'origine rappresenta lo zero; la freccia indica il verso in cui i numeri aumentano; l'unità stabilisce la distanza tra due numeri interi consecutivi.
Il numero associato a un punto dell'asse è la sua coordinata. Se chiamiamo l'asse \(x\), la coordinata del punto \(A\) si può scrivere \(x_A\).
Differenza orientata e lunghezza
Su un asse, l'ordine dei punti conta. Dati \(A\) e \(B\) con coordinate \(x_A\) e \(x_B\), definiamo:
La prima quantità è la differenza orientata: può essere positiva o negativa e cambia segno se invertiamo l'ordine dei punti. La seconda è la lunghezza del segmento: misura quanto sono lontani i punti, quindi non è negativa e non dipende dall'ordine.
Consideriamo \(A(-6)\) e \(B(-2)\). La differenza orientata da \(A\) a \(B\) è
Se percorriamo il segmento nel verso opposto, otteniamo
La lunghezza, invece, è sempre
Una differenza orientata negativa non significa che la lunghezza sia negativa: da \(C(6)\) a \(D(3)\) abbiamo \(\mathcal{D}(C,D)=3-6=-3\), ma \(\mathcal{L}(C,D)=|-3|=3\).
Il punto medio su un asse
Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due parti della stessa lunghezza. Se \(M\) è il punto medio di \(AB\) su un asse, la sua coordinata è la media delle coordinate degli estremi:
Per \(A(x_A)\) e \(B(x_B)\),
La formula funziona anche quando una o entrambe le coordinate sono negative.
Per \(A(-7)\) e \(B(3)\),
Infatti \(M(-2)\) si trova a \(5\) unità da \(A\) e a \(5\) unità da \(B\).
Due assi e una coppia ordinata
Per descrivere una posizione nel piano usiamo due assi cartesiani perpendicolari, con la stessa origine e la stessa unità di misura. L'asse orizzontale è l'asse delle ascisse, o asse \(x\); quello verticale è l'asse delle ordinate, o asse \(y\). La loro intersezione è l'origine \(O(0,0)\).
Un riferimento cartesiano ortogonale monometrico è formato da due assi perpendicolari, con origine comune e uguale unità di misura. A ogni punto del piano corrisponde una sola coppia ordinata \((x,y)\): la prima coordinata è l'ascissa, letta sull'asse \(x\); la seconda è l'ordinata, letta sull'asse \(y\).
L'ordine non è decorativo: \((2,5)\) e \((5,2)\) sono punti diversi. Per rappresentare \(P(x_P,y_P)\):
- individua \(x_P\) sull'asse \(x\);
- traccia mentalmente, o con una riga, la parallela all'asse \(y\);
- individua \(y_P\) sull'asse \(y\);
- traccia la parallela all'asse \(x\): l'intersezione è il punto \(P\).
Il punto \(A(-3,4)\) ha ascissa \(-3\) e ordinata \(4\): dalla posizione \(-3\) ci spostiamo verso l'alto fino all'altezza \(4\). Il punto \(B(4,-3)\) richiede invece uno spostamento a destra e poi verso il basso.
Coordinate e punto medio nel piano
Le proiezioni tratteggiate aiutano a leggere prima l'ascissa e poi l'ordinata.
Quadranti e punti sugli assi
Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati partendo da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario.
| Quadrante | Segno dell'ascissa \(x\) | Segno dell'ordinata \(y\) | Esempio |
|---|---|---|---|
| I | positivo | positivo | \((3,2)\) |
| II | negativo | positivo | \((-3,2)\) |
| III | negativo | negativo | \((-3,-2)\) |
| IV | positivo | negativo | \((3,-2)\) |
I punti sugli assi non appartengono a un quadrante:
- se \(y=0\), il punto è sull'asse \(x\);
- se \(x=0\), il punto è sull'asse \(y\);
- se \(x=0\) e \(y=0\), il punto è l'origine.
Per riconoscere un quadrante guarda i segni, non il valore assoluto. Il punto \((-1,5)\) è nel II quadrante, mentre \((1,-5)\) è nel IV: scambiare le coordinate cambia sia la posizione sia, spesso, il quadrante.
Il punto medio nel piano
L'idea della media usata su un asse si applica separatamente alle due coordinate. Se \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\) sono gli estremi di un segmento, il punto medio è
Graficamente, \(M\) è il punto del segmento che ha la stessa distanza da \(A\) e da \(B\). La formula calcola la media delle ascisse e la media delle ordinate, senza mescolare le due coordinate.
Siano \(A(-4,-2)\) e \(B(4,4)\). Calcoliamo le due coordinate separatamente:
Quindi \(M(0,1)\). Nel diagramma il punto è a metà del segmento: la sua ascissa è a metà tra \(-4\) e \(4\), mentre la sua ordinata è a metà tra \(-2\) e \(4\).
Se conosciamo \(A\) e \(M\) e vogliamo ricavare \(B\), possiamo risolvere la formula nelle due coordinate:
Questo procedimento è utile nei problemi in cui il punto medio è già indicato su una mappa.
Non calcolare una sola media usando le quattro coordinate insieme. Le ascisse determinano l'ascissa del punto medio e le ordinate determinano l'ordinata: prima si fa una media orizzontale, poi una verticale.
La distanza tra due punti
Se un segmento è parallelo a un asse, basta una differenza in valore assoluto:
Nel caso generale tracciamo dai due estremi segmenti paralleli agli assi. Si forma un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza \(|x_B-x_A|\) e \(|y_B-y_A|\); il segmento \(AB\) è l'ipotenusa. Per il teorema di Pitagora:
Per \(A(x_A,y_A)\) e \(B(x_B,y_B)\),
I quadrati rendono ininfluente il segno delle differenze. Il risultato è una lunghezza, quindi si prende la radice quadrata non negativa.
Per \(A(-1,-2)\) e \(B(4,6)\), le variazioni orizzontale e verticale sono \(4-(-1)=5\) e \(6-(-2)=8\). Quindi
Aree e problemi geometrici controllabili
Le coordinate permettono di risolvere problemi di geometria senza misurare il disegno con il righello. Quando un triangolo ha un lato parallelo a un asse, la base e l'altezza si leggono come differenze in valore assoluto:
Per esempio, il triangolo con vertici \(A(-2,1)\), \(B(4,1)\) e \(C(-2,5)\) ha \(AB=6\) e \(AC=4\), quindi
Un'area orientata da non confondere con la superficie
La regione sottesa è delimitata dal segmento \(AB\), dalle proiezioni verticali dei suoi estremi sull'asse \(x\) e dal tratto di asse tra queste proiezioni. Per un segmento orientato \(AB\), il capitolo sorgente introduce anche la quantità
Questa è un'area orientata: cambiando l'ordine da \(AB\) a \(BA\) cambia segno. Se il segmento e la regione sono dallo stesso lato dell'asse \(x\), il valore assoluto coincide con la superficie del trapezio sotteso, di un rettangolo se \(y_A=y_B\), o di un triangolo se un estremo è sull'asse \(x\). Se il segmento attraversa l'asse, invece, la formula descrive una somma orientata e non va letta automaticamente come area geometrica.
Per \(A(1,2)\) e \(B(5,6)\),
Invertendo gli estremi,
La superficie geometrica della regione è \(16\) unità quadrate; \(-16\) non è una superficie negativa, ma il valore orientato ottenuto percorrendo il segmento nel verso opposto.
Un'aiuola ha vertici \(A(-2,1)\), \(B(4,1)\) e \(C(-2,5)\). Troviamo perimetro e area.
- Il lato orizzontale è \(AB=|4-(-2)|=6\).
- Il lato verticale è \(AC=|5-1|=4\).
- La distanza tra \(B\) e \(C\) è \(BC=\sqrt{(4-(-2))^2+(1-5)^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}.\)
- Il perimetro è \(6+4+2\sqrt{13}\approx17{,}21\) e l'area è \(\mathcal{A}=\frac{6\cdot4}{2}=12.\)
Il disegno suggerisce un triangolo rettangolo, ma sono le coordinate e le formule a giustificare i risultati.
Un'ultima applicazione: il baricentro
Il baricentro di un triangolo è il punto d'incontro delle sue mediane. Per mediana si intende il segmento che unisce un vertice al punto medio del lato opposto. Per calcolare le coordinate del baricentro basta fare la media delle ascisse dei tre vertici e, separatamente, la media delle ordinate:
Per \(A(-3,0)\), \(B(3,0)\) e \(C(0,6)\),
Prova tu
Coordinate e quadranti
es-geo-piano-001Indica se il punto \(P(-3,5)\) appartiene al II quadrante, al IV quadrante o a un asse. Spiega quale segno delle coordinate ti guida.
Distanza tra due punti
es-geo-piano-002Calcola la distanza tra \(A(1,1)\) e \(B(5,4)\) usando il teorema di Pitagora.
Punto medio
es-geo-piano-003Trova il punto medio del segmento con estremi \(A(-5,3)\) e \(B(1,-1)\).
Area orientata
es-geo-piano-004Per \(A(-2,2)\) e \(B(4,2)\) calcola \(\mathcal{A}_{AB}\) e spiega perché, in questo caso, il suo valore assoluto rappresenta la superficie del rettangolo delimitato dal segmento, dalle proiezioni verticali degli estremi e dall'asse \(x\).
Continua con
- Punti, distanze e misure per una sequenza graduata di coordinate, punti medi, distanze e problemi;
- La retta nel piano cartesiano per descrivere con un'equazione i punti allineati;
- La parabola nel piano cartesiano e La circonferenza nel piano cartesiano per gli approfondimenti sulle coniche.
Questa lezione è un adattamento editoriale originale di Matematica Libera, Volume 1 di Bruno Stecca, Daniele Zambelli e degli autori di Matematica Dolce, versione 1.1.1 (febbraio 2026), capitolo 6, sezioni 6.1-6.5, PDF pp. 231-246 (pagine stampate 219-234), con esercizi rielaborati dalle pp. 247-250 (pagine stampate 235-238). La fonte è distribuita con licenza CC BY-SA 4.0. Il diagramma della pagina è un elemento originale; rette, coniche e codice Python della fonte restano fuori dal perimetro.