La parabola nel piano cartesiano
La parabola è il grafico di una funzione quadratica.
La parabola di equazione \(y = ax^2 + bx + c\) (con \(a \neq 0\)) è il luogo geometrico dei punti del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano l'equazione.
Elementi della parabola
Vertice
Il vertice \(V\) ha coordinate:
\(x_V = -\frac{b}{2a}, \quad y_V = f(x_V) = c - \frac{b^2}{4a}\)
Asse di simmetria
L'asse di simmetria è la retta verticale \(x = x_V\).
Concavità
- Se \(a > 0\): la parabola è convessa (convessa verso l'alto)
- Se \(a < 0\): la parabola è concava (convessa verso il basso)
\(y = x^2 - 4x + 3\)
\(x_V = -\frac{-4}{2} = 2\) \(y_V = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
Vertice: \(V(2, -1)\), concavità verso l'alto.
Intersezioni con gli assi
Asse y
Si pone \(x = 0\): \(y = c\). Punto: \((0, c)\).
Asse x
Si risolve \(ax^2 + bx + c = 0\). Il numero di intersezioni dipende da \(\Delta\):
- \(\Delta > 0\): due intersezioni
- \(\Delta = 0\): una intersezione (vertice)
- \(\Delta < 0\): nessuna intersezione
Forma canonica
\(y = a(x - x_V)^2 + y_V\)
Trova il vertice della parabola \(y = x^2 - 6x + 5\).
Trova le intersezioni con gli assi di \(y = x^2 - 4\).