Scomposizione di polinomi
Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di fattori più semplici.
La scomposizione (o fattorizzazione) di un polinomio è il processo inverso del prodotto. Si scrive il polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore.
Metodi di scomposizione
1. Raccoglimento a fattor comune
\(ax + ay = a(x + y)\)
2. Raccoglimento parziale
\((ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)\)
3. Prodotti notevoli inversi
- Quadrato di binomio: \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)
- Differenza di quadrati: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
- Cubo di binomio: \(a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3\)
- Somma/diff. di cubi: \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)
4. Ruffini
Per scomporre \(P(x)\), si cerca una radice \(r\) tale che \(P(r) = 0\). Allora \(P(x) = (x - r) \cdot Q(x)\).
5. Trinomio speciale
\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\)
dove \(x_1, x_2\) sono le soluzioni di \(ax^2 + bx + c = 0\).
Scomporre: \(x^2 - 5x + 6\)
Cerchiamo due numeri la cui somma è \(-5\) e prodotto è \(6\): \(-2\) e \(-3\).
\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
Scomporre: \(2x^3 - 8x\)
Prima raccogliamo: \(2x(x^2 - 4)\)
Poi: \(2x(x + 2)(x - 2)\)
Scomponi: \(x^2 + 6x + 9\)
Scomponi: \(4x^2 - 25\)
Scomponi: \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) (sappiamo che \(x = 1\) è radice)