Introduzione agli insiemi numerici
In questa lezione esploriamo i diversi insiemi di numeri che utilizziamo in matematica, dal più semplice al più complesso.
Un insieme numerico è un insieme i cui elementi sono numeri, dotato di operazioni e proprietà ben definite.
I numeri naturali \(\mathbb{N}\)
Il insieme dei numeri naturali è il primo insieme che incontriamo:
\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\)
I numeri naturali servono per contare e ordinare. Su di essi sono definite le quattro operazioni fondamentali, ma con alcune limitazioni.
La somma \(3 + 5 = 8\) è sempre un numero naturale. La moltiplicazione \(4 \times 7 = 28\) è sempre un numero naturale.
I numeri interi \(\mathbb{Z}\)
Per risolvere equazioni come \(x + 5 = 2\), abbiamo bisogno dei numeri interi:
\(\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\)
I numeri interi includono i naturali e i loro opposti.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) — Ogni numero naturale è anche un numero intero.
I numeri razionali \(\mathbb{Q}\)
I numeri razionali sono quelli che possono essere scritti come frazione di due interi:
\(\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}\)
Ogni numero intero è razionale, poiché \(n = \frac{n} {1}\).
I numeri reali \(\mathbb{R}\)
I numeri reali completano i razionali includendo anche i numeri irrazionali, come \(\sqrt{2}\) e \(\pi\):
\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Molti pensano che \(\sqrt{4}\) sia irrazionale. In realtà \(\sqrt{4} = 2\), che è razionale. Solo le radici quadrate di numeri che non sono quadrati perfetti sono irrazionali.
La gerarchia degli insiemi
La relazione di inclusione tra i principali insiemi numerici è:
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Classifica i seguenti numeri negli insiemi a cui appartengono: \(3\), \(-\frac{1} {2}\), \(\sqrt{3}\), \(0\), \(-5\), \(\frac{7} {4}\)