Introduzione agli insiemi numerici
In matematica non usiamo tutti i numeri nello stesso modo. Per contare basta \(\mathbb{N}\); per descrivere temperature sotto zero servono gli interi; per dividere una quantità in parti uguali servono anche i razionali. Questa pagina offre la mappa iniziale: le lezioni dedicate sviluppano poi i calcoli e le proprietà di ciascun insieme.
Perché servono più insiemi?
Con i numeri naturali possiamo calcolare \(8-5\), ma \(5-8\) non produce un numero naturale. Allo stesso modo, \(5\div2\) non produce un numero intero. Per rendere possibili queste operazioni allarghiamo gradualmente l'insieme dei numeri che stiamo usando.
\(5-8=-3\) richiede un numero intero, mentre \(5\div2=\frac{5}{2}\) richiede un numero razionale. Il nuovo insieme contiene quelli precedenti e aggiunge i risultati che mancavano.
La mappa di base
I numeri naturali
I naturali servono soprattutto per contare e ordinare. In questa pagina assumiamo che lo zero sia naturale:
Numeri come \(0\), \(7\) e \(42\) appartengono a \(\mathbb{N}\). Il numero \(-3\), invece, non è naturale: per rappresentarlo serve l'insieme degli interi.
I numeri interi
Gli interi aggiungono ai naturali i numeri negativi e lo zero resta senza segno:
La temperatura \(-3\) e il debito di \(20\) euro possono quindi essere descritti con numeri interi. La rappresentazione sulla retta e le operazioni con i segni sono sviluppate nella lezione Numeri interi.
I numeri razionali
I razionali comprendono i quozienti di due numeri interi, purché il denominatore non sia zero:
Un numero è razionale se può essere scritto nella forma
L'insieme di questi numeri si indica con \(\mathbb{Q}\).
Per esempio, \(\frac{3}{4}\) è razionale. Anche ogni intero è razionale, perché \(-5=\frac{-5}{1}\). Nella classificazione rientrano inoltre i decimali finiti e periodici: \(1{,}25=\frac{5}{4}\) e \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\).
Inclusioni e controesempi
La mappa si può leggere come una catena di inclusioni:
Ogni naturale è anche intero e ogni intero è anche razionale. Infatti, per ogni \(n\in\mathbb{Z}\) vale \(n=\frac{n}{1}\).
Le inclusioni non sono reciproche. Due controesempi bastano a controllarle:
- \(-1\in\mathbb{Z}\) ma \(-1\notin\mathbb{N}\), quindi non vale \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}\);
- \(\frac{1}{2}\in\mathbb{Q}\) ma \(\frac{1}{2}\notin\mathbb{Z}\), quindi non vale \(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Z}\).
Come classificare un numero
Quando si chiede il più piccolo insieme a cui appartiene un numero, si può procedere così:
- se il numero è intero e non negativo, appartiene a \(\mathbb{N}\);
- se è intero ma negativo, appartiene a \(\mathbb{Z}\);
- se non è intero ma si può scrivere come frazione di interi, appartiene a \(\mathbb{Q}\).
- \(0\) appartiene a \(\mathbb{N}\), quindi appartiene anche a \(\mathbb{Z}\) e a \(\mathbb{Q}\), ma il più piccolo insieme è \(\mathbb{N}\);
- \(-6\) appartiene a \(\mathbb{Z}\) e a \(\mathbb{Q}\), ma non a \(\mathbb{N}\);
- \(\frac{3}{5}\) appartiene a \(\mathbb{Q}\), ma non a \(\mathbb{Z}\) perché non è un intero.
Dire che \(-6\) è "solo razionale" non è falso, ma è poco preciso: \(-6\) è razionale perché \(-6=\frac{-6}{1}\), però il più piccolo insieme che lo contiene è \(\mathbb{Z}\). La classificazione deve fermarsi al primo insieme della catena adatto al numero.
Questa mappa si ferma a \(\mathbb{Q}\). Gli irrazionali e l'insieme dei reali \(\mathbb{R}\) appartengono a un approfondimento successivo: se li incontrerai più avanti, considerali qui solo come un'anteprima fuori perimetro, non come un obiettivo di questa lezione del Volume 1.
Prova tu
Il più piccolo insieme
es-intro-001Indica il più piccolo insieme tra \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) a cui appartiene ciascun numero: \(0\), \(-8\), \(\frac{2}{5}\), \(2{,}4\), \(0{,}\overline{6}\).
Controlla le inclusioni
es-intro-002Stabilisci quali affermazioni sono vere e correggi quelle false con un controesempio: \(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Z}\).
Dalla scrittura alla classificazione
es-intro-003Scrivi come frazione \(1{,}25\) e \(0{,}\overline{3}\). Poi indica il più piccolo insieme a cui appartengono le due rappresentazioni.
Per allenarti con altri esempi graduati, apri la scheda Numeri e classificazione.
Continua con
- Numeri naturali per studiare il primo insieme e le operazioni di base;
- Numeri interi per approfondire segni, retta e operazioni con i numeri negativi;
- Numeri razionali per lavorare con frazioni, decimali e confronti.
La fonte principale è Matematica Libera volume 1 (2025), di Bruno Stecca e Daniele Zambelli, oltre agli autori di Matematica Dolce; il progetto è coordinato da Daniele Zambelli. Il front matter del volume (PDF, p. 2) dichiara la licenza CC BY-SA 3.0 Italia. L'adattamento usa cap. 1, §§ 1.2-1.3 e 1.6.4 (PDF pp. 15-18); cap. 2, §§ 2.1-2.2 (pp. 53-55); cap. 3, §§ 3.1 e 3.4 (pp. 73-78). L'art. 4.b(ii) del codice CC BY-SA 3.0 Italia permette di distribuire l'opera derivata con una versione successiva dagli stessi elementi: questa pagina è un adattamento editoriale originale distribuito con licenza CC BY-SA 4.0. Le spiegazioni estese restano nelle lezioni dedicate.