Numeri naturali

Livello: Prima 50 minPrerequisiti: Introduzione agli insiemi numerici

I numeri naturali sono i numeri con cui contiamo. In questa lezione impariamo a rappresentarli, confrontarli e usarli per costruire calcoli ordinati. Arriveremo anche a divisibilità, numeri primi, fattorizzazione, massimo comune divisore e minimo comune multiplo.

Dalle tacche ai numeri

Per contare un gruppo di oggetti possiamo associare ogni oggetto a una tacca o a un simbolo. Quando i gruppi diventano grandi, però, serve un sistema compatto e regolare per scrivere i numeri. Il sistema che usiamo oggi nasce dall'uso di dieci cifre e dal valore che ogni cifra assume in base alla posizione.

Definizione

L'insieme dei numeri naturali è

$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}. $

In questa lezione consideriamo quindi lo zero un numero naturale.

Il numero successivo di \(n\) è \(n+1\). Lo zero è il più piccolo numero naturale, ogni naturale ha un successore e non esiste un numero naturale più grande di tutti. Possiamo rappresentare i naturali su una semiretta: partiamo da \(0\) e facciamo un passo unitario verso destra ogni volta che aumentiamo di uno.

Il sistema decimale posizionale

Le cifre disponibili sono

$ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. $

Il sistema è decimale perché usa dieci cifre ed è posizionale perché il valore di una cifra dipende dal posto che occupa. In \(4\,782\):

$ 4\,782 = 4\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 8\cdot 10 + 2. $

La stessa cifra può quindi rappresentare unità, decine, centinaia o migliaia. Gli zeri a sinistra non cambiano il valore: \(007=7\); gli zeri interni o finali, invece, possono cambiare il numero: \(70\neq700\).

Confrontare numeri naturali

Sulla semiretta numerica, il numero più a destra è il maggiore. Per confrontare due naturali possiamo usare questa procedura:

  1. il numero con più cifre è il maggiore;
  2. se hanno lo stesso numero di cifre, confrontiamo le cifre da sinistra verso destra;
  3. la prima posizione diversa decide il confronto.

Per esempio, \(5\,704>5\,674\) perché le migliaia coincidono e, nelle centinaia, \(7>6\).

Esempio

Confrontiamo \(3\,098\) e \(3\,089\). Le migliaia e le centinaia coincidono, ma nelle decine troviamo \(9>8\). Pertanto

$ 3\,098 > 3\,089. $

Le operazioni come regole

Un'operazione può essere vista come una regola che riceve uno o più numeri in ingresso e restituisce un risultato. L'addizione riceve due addendi e restituisce una somma; la moltiplicazione riceve due fattori e restituisce un prodotto.

Quando il risultato appartiene ancora a \(\mathbb{N}\), diciamo che l'operazione è chiusa nei numeri naturali.

Addizione

La somma di due naturali è sempre naturale:

$ a,b\in\mathbb{N}\quad\Longrightarrow\quad a+b\in\mathbb{N}. $
Proprietà

L'addizione è commutativa, associativa e ha \(0\) come elemento neutro:

$ a+b=b+a, \qquad (a+b)+c=a+(b+c), \qquad a+0=0+a=a. $

Le proprietà permettono di cambiare l'ordine o il raggruppamento degli addendi senza cambiare la somma.

Sottrazione

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione, ma non è sempre chiusa in \(\mathbb{N}\):

$ 8-3=5\in\mathbb{N}, \qquad 3-8=-5\notin\mathbb{N}. $

Nei naturali possiamo sottrarre \(b\) da \(a\) senza uscire da \(\mathbb{N}\) quando \(a\ge b\). Per rappresentare risultati come \(3-8\) dovremo introdurre i numeri interi.

Moltiplicazione

Il prodotto di due naturali è sempre naturale:

$ a,b\in\mathbb{N}\quad\Longrightarrow\quad a\cdot b\in\mathbb{N}. $
Proprietà

La moltiplicazione è commutativa, associativa, ha \(1\) come elemento neutro e \(0\) come elemento assorbente:

$ a\cdot b=b\cdot a, \qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c), a\cdot1=a, \qquad a\cdot0=0. $

La proprietà distributiva collega prodotto e somma o differenza:

$ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c. $

Per esempio:

$ 7\cdot(10+3)=7\cdot10+7\cdot3=70+21=91. $

Divisione

La divisione per un numero naturale diverso da zero non è sempre esatta:

$ 12\div 3=4, \qquad 13\div 3\text{ non è un naturale senza resto}. $

La divisione per zero non è definita. Quando la divisione non è esatta usiamo l'algoritmo della divisione, che sarà formalizzato nella sezione sulla divisibilità.

Potenze

Una potenza è una moltiplicazione ripetuta:

$ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ fattori}}. $

In \(a^n\), \(a\) è la base e \(n\) è l'esponente. Per esempio:

$ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16. $

Per \(a\neq0\) vale \(a^0=1\). Le proprietà più utili sono:

$ a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0,\ m\ge n), \qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}. $

Espressioni numeriche

Un'espressione numerica combina numeri e operazioni. Per evitare ambiguità si rispetta questo ordine:

  1. parentesi tonde, quadre e graffe, dall'interno verso l'esterno;
  2. potenze;
  3. moltiplicazioni e divisioni, da sinistra verso destra;
  4. addizioni e sottrazioni, da sinistra verso destra.
Calcolare un'espressione numerica

Calcoliamo:

$ 18-2\cdot(3+4)+2^2. $

Prima risolviamo la parentesi e la potenza:

$ 18-2\cdot7+4. $

Poi la moltiplicazione:

$ 18-14+4=8. $

Quindi il risultato è \(8\).

Un'espressione può essere rappresentata anche con un grafo ad albero: le operazioni più interne sono i rami inferiori e il risultato finale è la radice. Nel calcolo scritto, il metodo sequenziale è spesso più rapido; l'albero è utile per vedere quale operazione deve essere eseguita prima.

Espressioni con un numero mancante

Il simbolo \(\square\) rappresenta un numero da trovare. Per esempio:

$ \square+7=12 $

si risolve cercando il numero che, sommato a \(7\), dà \(12\): \(\square=5\). La verifica consiste nel sostituire il valore trovato nell'espressione iniziale.

Errore comune

In \(18-2\cdot4\) non si calcola prima \(18-2\). La moltiplicazione ha la precedenza: \( 18-2\cdot4=18-8=10.\)

Divisibilità e numeri primi

La divisione con resto permette di descrivere quando un numero è divisibile per un altro.

Definizione

Dati \(a,b\in\mathbb{N}\) con \(b\neq0\), diciamo che \(b\) divide \(a\) se esiste un naturale \(q\) tale che \(a=b\cdot q.\) Scriviamo \(b\mid a\). In questo caso \(b\) è un divisore di \(a\) e \(a\) è un multiplo di \(b\).

In generale l'algoritmo della divisione dice che, dati \(a\in\mathbb{N}\) e \(b\in\mathbb{N}\) con \(b>0\), esistono quoziente \(q\) e resto \(r\) tali che

$ a=b\cdot q+r, \qquad 0\le r<b. $

Per esempio:

$ 253=7\cdot36+1. $

Il resto è \(1\), quindi \(7\) non divide \(253\). Se invece \(252=7\cdot36\), allora \(7\mid252\).

Un numero naturale maggiore di \(1\) è primo se ha esattamente due divisori positivi: \(1\) e sé stesso. Un numero maggiore di \(1\) che non è primo è composto. Il numero \(1\) non è primo perché ha un solo divisore positivo.

Scomposizione in fattori primi

Scomporre un numero in fattori primi significa scriverlo come prodotto di numeri primi. Per esempio:

$ 360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)\cdot(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5. $

Possiamo arrivare allo stesso risultato con un grafo ad albero: scomponiamo il numero in fattori finché ogni foglia è un numero primo, poi raccogliamo tutte le foglie uguali usando le potenze.

MCD e mcm

Il massimo comune divisore di due o più numeri è il più grande divisore che hanno in comune. Il minimo comune multiplo è il più piccolo multiplo positivo comune.

Per calcolarli con la scomposizione in fattori primi:

  • nel MCD prendiamo solo i fattori comuni, con l'esponente minore;
  • nel mcm prendiamo tutti i fattori presenti, con l'esponente maggiore.
MCD e mcm con i fattori primi

Consideriamo \(84\) e \(126\):

$ 84=2^2\cdot3\cdot7, \qquad 126=2\cdot3^2\cdot7. $

Per il MCD prendiamo \(2\), \(3\) e \(7\) con gli esponenti minori:

$ \operatorname{MCD}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42. $

Per il mcm prendiamo tutti i fattori con gli esponenti maggiori:

$ \operatorname{mcm}(84,126)=2^2\cdot3^2\cdot7=252. $

Per una trattazione più ampia di quoziente, criteri di divisibilità, primi, fattorizzazione, MCD e mcm, continua con Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm.

Prova tu

Valore posizionale e confronto

es-naturali-003
CalcoloLivello 1

Scrivi \(5\,074\) come somma dei valori posizionali e stabilisci se \(5\,704>5\,740\).

Espressione con parentesi

es-naturali-004
CalcoloLivello 2

Calcola:

$ 24-3\cdot(4+2)+2^3. $

Divisione e divisibilità

es-naturali-005
CalcoloLivello 2

Trova quoziente e resto di \(253\div7\) e stabilisci se \(7\) divide \(253\).

Per altri esercizi guidati, consulta Numeri e classificazione, Espressioni numeriche e Divisione e divisibilità.

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