Numeri naturali
Approfondiamo le proprietà dei numeri naturali \(\mathbb{N}\) e le operazioni che possiamo svolgere al loro interno.
L'insieme dei numeri naturali è \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}\).
Le operazioni in \(\mathbb{N}\)
Somma
La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale:
\(\forall a, b \in \mathbb{N}: a + b \in \mathbb{N}\)
La somma gode di:
Proprietà commutativa: \(a + b = b + a\)
Proprietà associativa: \((a + b) + c = a + (b + c)\)
Elemento neutro: \(a + 0 = a\)
Moltiplicazione
Anche la moltiplicazione è sempre chiusa in \(\mathbb{N}\):
\(\forall a, b \in \mathbb{N}: a \times b \in \mathbb{N}\)
Sottrazione e divisione
La sottrazione non è sempre chiusa in \(\mathbb{N}\):
\(5 - 3 = 2 \in \mathbb{N} \quad \text{ma} \quad 3 - 5 \notin \mathbb{N}\)
La divisione analogamente non è sempre chiusa:
\(6 \div 2 = 3 \in \mathbb{N} \quad \text{ma} \quad 5 \div 2 \notin \mathbb{N}\)
Questo è proprio il motivo per cui abbiamo bisogno di estendere gli insiemi numerici agli interi \(\mathbb{Z}\) e ai razionali \(\mathbb{Q}\).
Potenza di numeri naturali
La potenza è una moltiplicazione ripetuta:
\(a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ volte}}\)
\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
\(5^2 = 5 \times 5 = 25\)
Calcola: \(3^4\), \(2^5\), \(10^3\)
Verifica che \(a^m \times a^n = a^{m + n}\) per \(a = 2\), \(m = 3\), \(n = 4\).