Numeri interi
Con i numeri naturali possiamo contare le temperature sopra lo zero, i crediti e le altezze, ma non possiamo descrivere direttamente una temperatura sotto lo zero, un debito o una profondità. I numeri interi aggiungono ai naturali i numeri negativi e rendono sempre possibile la sottrazione tra interi.
In questa lezione impariamo a rappresentare e confrontare gli interi e a calcolare con addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione esatta e potenze con esponente naturale.
Perché servono i numeri negativi
Se oggi la temperatura è di \(4\) gradi e domani diminuisce di \(7\) gradi, il calcolo \(4-7\) non produce un numero naturale. Il risultato deve però descrivere una situazione reale: domani la temperatura sarà di \(-3\) gradi.
Lo stesso linguaggio permette di indicare un debito di \(20\) euro come \(-20\), una profondità di \(150\) metri sotto il livello del mare come \(-150\) e un guadagno di \(20\) euro come \(+20\). Lo zero è il punto di riferimento: non è né positivo né negativo.
L'insieme dei numeri interi relativi è
Un intero positivo o negativo è formato da un valore assoluto e da un segno. Lo zero si scrive senza segno. Indichiamo con \(\mathbb{Z}^+\) gli interi positivi e con \(\mathbb{Z}^-\) gli interi negativi.
Due interi sono concordi se hanno lo stesso segno, mentre sono discordi se hanno segni diversi. Per esempio, \(-4\) e \(-9\) sono concordi; \(-4\) e \(+9\) sono discordi.
La retta degli interi
Sulla retta numerica fissiamo lo zero e un'unità di misura. Muovendoci verso destra aggiungiamo \(1\) a ogni passo; muovendoci verso sinistra sottraiamo \(1\).
Ogni intero corrisponde a un punto della retta. Quello più a destra è il maggiore: per esempio, \(-2<+3\) perché \(-2\) si trova più a sinistra di \(+3\).
Per calcolare \((-3)+(+5)\) possiamo partire da \(-3\) e fare cinque passi verso destra. Arriviamo a \(+2\).
Opposto e valore assoluto
L'opposto di un intero è il numero che si trova alla stessa distanza dallo zero, ma dalla parte opposta della retta.
L'opposto di \(a\) è \(-a\). La somma di un intero e del suo opposto è zero: \(a+(-a)=0.\) Per esempio, l'opposto di \(-7\) è \(+7\), mentre l'opposto di \(0\) è ancora \(0\).
Il valore assoluto \(|a|\) misura la distanza di \(a\) dallo zero, quindi non può essere negativo.
Il valore assoluto di un intero è definito da
Per esempio, \(|-8|=8\), \(|+8|=8\) e \(|0|=0\).
Due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, ma non sono lo stesso numero: \(|-5|=|+5|\), mentre \(-5\neq+5\).
Confrontare numeri interi
La retta fornisce il metodo più sicuro: il numero più a destra è il maggiore. Quando non possiamo disegnare la retta, usiamo queste regole:
- ogni numero negativo è minore di \(0\) e ogni numero positivo è maggiore di \(0\);
- tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore;
- tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore.
Confrontiamo \(-8\) e \(-3\). Sono entrambi negativi: il maggiore è quello con valore assoluto minore, perché è più vicino allo zero. Quindi \(|-3|=3<8=|-8|\qquad\Longrightarrow\qquad -8<-3.\) Invece \(+2>-6\) perché ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo.
Tra numeri negativi il valore assoluto maggiore corrisponde al numero più piccolo: \(-10<-2\), non \(-10>-2\).
Addizione di numeri interi
Il segno può essere il segno di un numero oppure il simbolo dell'operazione. All'inizio conviene mantenere le parentesi: in \((+3)+(-5)\) il primo \(+\) è il segno del primo addendo, mentre il secondo \(+\) è il simbolo dell'addizione.
Per sommare due interi:
- se sono concordi, sommiamo i valori assoluti e conserviamo il segno;
- se sono discordi, sottraiamo il valore assoluto minore dal maggiore e conserviamo il segno del numero con valore assoluto maggiore. Se hanno lo stesso valore assoluto, la somma è \(0\).
perché gli addendi sono concordi.
Invece
perché sono discordi e \(|-9|>|+5|\).
L'addizione conserva le proprietà già incontrate con i numeri naturali: è commutativa e associativa, ha elemento neutro \(0\) e ogni intero ha il proprio opposto.
Sottrazione e somma algebrica
Negli interi possiamo sempre eseguire la sottrazione. Il metodo fondamentale è trasformarla in un'addizione:
Sottrarre un numero equivale ad aggiungere il suo opposto: \(a-b=a+(-b).\)
e
Nel secondo caso il doppio segno meno non si cancella per memoria: si cambia la sottrazione in addizione e si prende l'opposto del secondo numero.
Quando in un'espressione compaiono solo addizioni e sottrazioni, possiamo trasformare prima tutte le sottrazioni e poi sommare i termini positivi e quelli negativi. Questa è una somma algebrica.
In \(5-(-2)\) il primo meno indica una sottrazione e il secondo è il segno del numero sottratto. Il calcolo corretto è \(5+2=7\), non \(5-2\).
Moltiplicazione e regola dei segni
Per moltiplicare due interi moltiplichiamo i valori assoluti e determiniamo il segno del risultato:
- fattori concordi: prodotto positivo;
- fattori discordi: prodotto negativo;
- se almeno un fattore è zero: prodotto uguale a zero.
perché i fattori sono discordi, mentre
perché sono concordi.
La moltiplicazione è commutativa e associativa, ha elemento neutro \(1\) e si distribuisce rispetto all'addizione. Se ci sono più fattori, il prodotto è negativo quando i fattori negativi sono in numero dispari; è positivo quando sono in numero pari, purché nessun fattore sia zero.
Divisione esatta negli interi
La divisione tra interi non dà sempre un intero. Consideriamo quindi solo il quoziente esatto: il divisore deve essere diverso da zero e il dividendo deve essere un multiplo del divisore.
Se il dividendo è \(0\), il quoziente è \(0\). Se invece il dividendo è diverso da \(0\), il valore assoluto del quoziente è il quoziente dei valori assoluti e il segno segue la stessa regola della moltiplicazione:
- dividendo e divisore concordi: quoziente positivo;
- dividendo e divisore discordi: quoziente negativo.
Invece \((+8)\div(+7)\) non ha un quoziente intero esatto e la divisione per zero non è definita.
Addizione, sottrazione e moltiplicazione di interi producono sempre un intero. La divisione no: \(8\div7\) è un numero razionale, non un numero intero.
Potenze con esponente naturale
Per una base intera \(b\) e un esponente naturale \(n>0\), la potenza \(b^n\) è il prodotto di \(n\) fattori uguali a \(b\). Per ogni base diversa da zero vale anche \(b^0=1\); in questa lezione non consideriamo definita \(0^0\).
Per un esponente positivo, il segno del risultato dipende dalla base e, se è negativa, dalla parità dell'esponente:
- base positiva: risultato positivo;
- base nulla: risultato uguale a zero;
- base negativa ed esponente pari: risultato positivo;
- base negativa ed esponente dispari: risultato negativo.
perché i fattori negativi sono quattro, mentre
perché sono tre.
Le parentesi fanno parte del calcolo: \((-3)^2=+9\), mentre \(-3^2\) significa \(-(3^2)=-9\). Prima di elevare una base negativa, verifica dove si trova il segno meno.
Prova tu
Ordine e opposti
es-interi-001Disponi in ordine crescente i numeri \(-7\), \(+2\), \(0\), \(-3\), \(+5\). Poi scrivi l'opposto di \(-7\) e il valore assoluto di \(-3\).
Somma algebrica
es-interi-002Trasforma in una somma algebrica e calcola: \((-8)-(-3)+(+5)-(-2).\)
Segni nella moltiplicazione e nella divisione
es-interi-003Calcola \((-7)\cdot(-3)\) e \((-24)\div(+6)\). Poi spiega perché \((+15)\div(-4)\) non è un quoziente intero esatto.
Potenze con base negativa
es-interi-004Prima stabilisci il segno di ciascuna potenza, poi calcola l'espressione: \((-2)^4-3^2+(-1)^3.\)
Continua con
- Numeri razionali per descrivere anche i quozienti non interi e gli esponenti negativi;
- Il piano cartesiano per usare gli interi come coordinate e rappresentare punti sulla retta e nel piano.
La fonte principale è Matematica Libera, Volume 1 (2026), copyright © 2026; capitolo 2, Numeri interi relativi, paragrafi 2.1–2.4.6 (pp. 41–51) e una selezione rielaborata degli esercizi del paragrafo 2.5 (pp. 52–60). Il volume indica come coordinatore Daniele Zambelli e tra gli autori Bruno Stecca, Daniele Zambelli e gli autori di Matematica Dolce. Questa pagina è un adattamento editoriale originale. Il volume e questa pagina sono distribuiti con licenza CC BY-SA 4.0 Italia.