Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm
Perché serve
Raggruppare oggetti senza resti, semplificare frazioni e sincronizzare eventi sono problemi diversi con la stessa base: divisori e multipli.
Dato \(a,b\in\mathbb{N}\) con \(b\neq0\), diciamo che \(b\) divide \(a\) se esiste \(q\in\mathbb{N}\) tale che \(a=bq\). Si scrive \(b\mid a\).
Se la divisione non è esatta, l'algoritmo della divisione dà \(a=bq+r\), con \(0\le r<b\). Per esempio \(47=6\cdot7+5\).
Numeri primi e scomposizione
Un numero maggiore di \(1\) è primo se ha soltanto i divisori \(1\) e sé stesso. Ogni naturale maggiore di \(1\) si scompone, a meno dell'ordine, in modo unico come prodotto di primi.
\(360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5\).
Per il massimo comune divisore si prendono i fattori comuni con l'esponente minore; per il minimo comune multiplo tutti i fattori con l'esponente maggiore.
\(84=2^2\cdot3\cdot7\) e \(126=2\cdot3^2\cdot7\).
Quindi \(\operatorname{MCD}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42\) e \(\operatorname{mcm}(84,126)=2^2\cdot3^2\cdot7=252\).
\(1\) non è primo: possiede un solo divisore positivo, mentre un primo ne deve avere esattamente due.
Prova tu
- Scrivi \(540\) come prodotto di fattori primi.
- Calcola MCD e mcm di \(72\) e \(120\).
- Tre segnali si ripetono ogni \(12\), \(18\) e \(30\) secondi. Dopo quanto tornano insieme?