Divisibilità, numeri primi, MCD e mcm
Quando dobbiamo formare gruppi uguali, controllare un calcolo o sincronizzare eventi, la domanda è spesso la stessa: rimane un resto? In questa lezione usiamo la divisione per descrivere la divisibilità, riconosciamo i numeri primi, impariamo a scomporre un numero e calcoliamo MCD e mcm.
La lezione sui numeri naturali introduce queste idee; qui diventano metodi applicabili. I criteri meno immediati, la scomposizione tra più numeri e i problemi con MCD e mcm trovano spazio in questa lezione e nella scheda di esercizi collegata.
Dal quoziente al resto
Una divisione esatta nei numeri naturali non è sempre possibile. La divisione con resto, invece, permette sempre di descrivere che cosa accade quando dividiamo un numero naturale positivo o nullo per un naturale non nullo.
Dati \(a,b\in\mathbb{N}\) con \(b\neq0\), esistono e sono unici \(q,r\in\mathbb{N}\) tali che \(a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r<b.\) Il numero \(q\) è il quoziente e \(r\) è il resto.
Per dividere \(1523\) per \(7\), il quoziente è \(217\) e il resto è \(4\):
Il controllo consiste nel ricostruire il dividendo: \(7\cdot217+4=1523\).
In alcuni contesti servono direttamente i due risultati separati:
La divisione intera (div) restituisce il quoziente senza la parte decimale; il modulo (mod) restituisce il resto. La divisione per zero non è definita, quindi nemmeno \(a\mathbin{\operatorname{mod}}0\) è definito.
Diciamo che \(b\) divide \(a\) se il resto della divisione di \(a\) per \(b\) è zero. In modo equivalente, esiste \(q\in\mathbb{N}\) tale che \(a=b\cdot q.\) Scriviamo \(b\mid a\): \(b\) è un divisore di \(a\) e \(a\) è un multiplo di \(b\).
Per esempio, \(7\mid252\) perché \(252=7\cdot36\), mentre \(7\nmid253\) perché \(253=7\cdot36+1\).
La scrittura \(b\mid a\) si legge “\(b\) divide \(a\)”, non il contrario. Inoltre, un resto piccolo non è necessariamente un resto nullo: \(1<7\), ma \(1\) non dimostra che \(7\) divida \(253\); dimostra proprio il contrario.
Criteri di divisibilità
La divisione resta la definizione, ma non sempre conviene eseguirla. I criteri di divisibilità permettono di riconoscere alcuni resti nulli osservando le cifre del numero.
Per un numero naturale, valgono questi criteri:
- è divisibile per \(2\) se l'ultima cifra è \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) o \(8\);
- è divisibile per \(3\) se la somma delle cifre è divisibile per \(3\);
- è divisibile per \(4\) se il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per \(4\);
- è divisibile per \(5\) se termina per \(0\) o \(5\);
- è divisibile per \(6\) se è divisibile sia per \(2\) sia per \(3\);
- è divisibile per \(8\) se il numero formato dalle ultime tre cifre è divisibile per \(8\);
- è divisibile per \(9\) se la somma delle cifre è divisibile per \(9\);
- è divisibile per \(10\) se termina per \(0\).
Il numero \(4680\) è divisibile per \(2\), perché termina con una cifra pari; per \(3\) e \(9\), perché \(4+6+8+0=18\); per \(4\), perché \(80\) è divisibile per \(4\); per \(5\) e \(10\), perché termina con \(0\); per \(6\), perché soddisfa insieme i criteri di \(2\) e \(3\); e per \(8\), perché \(680=8\cdot85\).
Quindi \(4680\) è divisibile per tutti gli otto numeri \(2,3,4,5,6,8,9,10\).
Criteri meno immediati
Il libro presenta anche tre criteri utili quando i numeri diventano più grandi:
- per \(7\), si elimina l'ultima cifra e si calcola il valore assoluto della differenza tra il numero rimanente e il doppio della cifra eliminata. Il risultato è divisibile per \(7\) esattamente quando lo è il numero iniziale. Infatti \(273\) supera il test perché \(|27-2\cdot3|=21\);
- per \(11\), si calcola la differenza, in valore assoluto, tra la somma delle
cifre in posizione alterna. Per esempio,
quindi \(8261\) è divisibile per \(11\);$ \left|(8+6)-(2+1)\right|=11, $
- per \(12\), si controlla contemporaneamente la divisibilità per \(3\) e per \(4\).
Questi criteri sono scorciatoie: se il risultato del test non è chiaro, si può tornare alla divisione con resto o alla scomposizione in fattori primi.
Primi, composti e coprimi
Un divisore proprio di un numero è un divisore diverso da \(1\) e dal numero stesso. Per classificare i numeri bisogna fare attenzione a due casi ai bordi:
- ogni naturale non nullo divide \(0\), quindi \(0\) ha infiniti divisori positivi;
- \(1\) ha un solo divisore positivo, cioè \(1\).
Un naturale maggiore di \(1\) è primo se ha esattamente due divisori positivi: \(1\) e il numero stesso. Un naturale maggiore di \(1\) che non è primo è composto.
Per verificare se \(n>1\) è primo non è necessario provare tutti i divisori fino a \(n\). Basta controllare i numeri primi non maggiori di \(\sqrt n\): se \(n=ab\) fosse composto, almeno uno tra \(a\) e \(b\) sarebbe non maggiore di \(\sqrt n\).
Poiché \(\sqrt{97}<10\), controlliamo solo i primi \(2\), \(3\), \(5\) e \(7\). \(97\) non è pari, la somma delle cifre è \(16\), non termina per \(0\) o \(5\) e non è divisibile per \(7\). Nessun primo fino a \(\sqrt{97}\) lo divide, quindi \(97\) è primo.
Al contrario, \(91=7\cdot13\), perciò è composto.
\(1\) non è primo: ha un solo divisore positivo, mentre un numero primo ne ha esattamente due. Inoltre “primi tra loro” non significa “entrambi primi”: \(8\) e \(15\) sono coprimi perché il loro unico divisore comune positivo è \(1\).
Il numero \(2\) è l'unico primo pari. I numeri primi sono infiniti; questa è una conclusione del teorema di Euclide. Un'altra osservazione utile è che un naturale positivo ha un numero dispari di divisori positivi esattamente quando è un quadrato perfetto.
Scomporre in fattori primi
Scomporre un numero significa scriverlo come prodotto di fattori. La scomposizione in fattori primi usa soltanto numeri primi. Il teorema fondamentale dell'aritmetica garantisce che ogni naturale maggiore di \(1\) ha una sola scomposizione in fattori primi, a meno dell'ordine dei fattori.
Si può procedere con un albero oppure in modo sequenziale.
Con una scomposizione ad albero possiamo raggruppare i fattori così:
Con il metodo sequenziale dividiamo ogni volta per un fattore primo:
I passaggi sono diversi, ma il prodotto finale è lo stesso.
Non confondere fattori primi e divisori. Nella scomposizione di \(630\) compaiono solo \(2\), \(3\), \(5\) e \(7\); tra i divisori di \(630\) ci sono anche \(1\), \(6\), \(10\), \(14\), \(21\) e molti altri.
MCD e mcm
Il massimo comune divisore di alcuni numeri è il più grande tra i loro divisori comuni. Il minimo comune multiplo è il più piccolo multiplo comune positivo. Il primo cerca ciò che i numeri possono dividere insieme; il secondo cerca il primo numero che tutti possono dividere.
Dopo aver scomposto i numeri in fattori primi, la regola è:
- per il MCD prendiamo solo i fattori presenti in tutti i numeri, con l'esponente minore;
- per il mcm prendiamo tutti i fattori presenti, con l'esponente maggiore.
Consideriamo \(60\), \(48\) e \(36\):
I fattori comuni sono \(2\) e \(3\). Per il MCD scegliamo gli esponenti minori:
Per il mcm prendiamo tutti i fattori con esponente massimo:
Per \(20\), \(24\) e \(450\) si ha
Quindi
Per due numeri positivi, il prodotto di MCD e mcm offre anche un controllo:
Un problema che fa scegliere il MCD
Supponiamo di voler pavimentare una stanza rettangolare di \(315\,\text{cm}\) per \(435\,\text{cm}\) con piastrelle quadrate tutte uguali, senza tagliarle. Il lato della piastrella deve essere un divisore comune dei due lati; per ottenere le piastrelle più grandi possibile scegliamo il MCD.
Ogni piastrella ha lato \(15\,\text{cm}\). Servono \(315\div15=21\) piastrelle lungo un lato e \(435\div15=29\) lungo l'altro, cioè
piastrelle in tutto.
Prova tu
Quoziente e resto
es-div-lezione-001Calcola quoziente e resto di \(1523\div7\) e stabilisci se \(7\mid1523\).
Usa i criteri
es-div-lezione-002Senza eseguire le divisioni, stabilisci per quali numeri tra \(2,3,4,5,6,8,9,10\) è divisibile \(4680\). Giustifica ogni risposta con il criterio appropriato.
Fattori primi
es-div-lezione-003Scomponi \(840\) in fattori primi e scrivi almeno due divisori che non siano primi.
MCD e mcm
es-div-lezione-004Calcola \(\operatorname{MCD}(72,120)\) e \(\operatorname{mcm}(72,120)\) usando la scomposizione in fattori primi.
Per continuare con esercizi graduati puoi aprire direttamente:
Continua con
- Numeri naturali per ripassare le basi;
- Divisione e divisibilità per allenarti;
- Numeri interi relativi per proseguire il percorso.
La fonte principale è Matematica Libera, Modulo 1: Insiemi numerici (2023), di Bruno Stecca, Daniele Zambelli e collaboratori (testo del modulo). Questa pagina è un adattamento editoriale originale dei paragrafi 1.9–1.12, distribuito con licenza CC BY-SA 3.0 Italia.