Numeri razionali
I numeri razionali includono tutte le frazioni.
Un numero è razionale se può essere scritto come \(\frac{a} {b}\) con \(a \in \mathbb{Z}\), \(b \in \mathbb{Z}\), \(b \neq 0\). L'insieme è \(\mathbb{Q}\).
Lo stesso numero possiede infinite rappresentazioni frazionarie. Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore non hanno divisori comuni maggiori di \(1\).
Frazioni equivalenti
Due frazioni sono equivalenti se:
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c\)
\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}\)
Verifica: \(1 \times 4 = 2 \times 2 = 4\).
Operazioni con frazioni
Per sommare \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\), si trova il denominatore comune:
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}\)
Rappresentazione decimale
Un numero razionale ha uno sviluppo decimale finito oppure infinito periodico. Viceversa, ogni decimale finito o periodico è razionale.
Sia \(x=0{,}\overline{27}\). Allora \(100x=27{,}\overline{27}\). Sottraendo la prima uguaglianza dalla seconda: \(99x=27\quad\Rightarrow\quad x=\frac{27}{99}=\frac3{11}.\)
Il denominatore di una frazione non può essere zero. Inoltre \(\frac{a} {b}+\frac{c} {d}\) non è in generale \(\frac{a + c} {b + d}\).
Calcola: \(\frac{2} {3} + \frac{1} {4}\)
Calcola: \(\frac{3} {5} \times \frac{2} {7}\)