Numeri razionali
Con i numeri interi la divisione non è sempre esatta: \(5\div2\) non è un numero intero. I numeri razionali permettono di rappresentare anche questi quozienti e di scegliere, volta per volta, la forma più utile: frazione, numero decimale o punto sulla retta.
In questa lezione impariamo a riconoscere, confrontare e usare i razionali. Il confine è importante: rapporti, proporzioni e percentuali proseguono nella lezione successiva, mentre i numeri irrazionali completano il quadro in Numeri reali.
Dalla divisione ai numeri razionali
Un numero è razionale se può essere scritto come
L'insieme dei numeri razionali si indica con \(\mathbb{Q}\). Ogni intero è razionale, perché \(n=\frac{n}{1}\); quindi \(\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\).
La condizione \(b\neq0\) non è un dettaglio: dividere per zero non è definito. Il numeratore può essere positivo, negativo o nullo. Per convenzione, quando possibile, lasciamo il denominatore positivo.
Notazione decimale
Quando eseguiamo una divisione tra interi, il resto può diventare zero oppure può ripresentarsi. Nel primo caso otteniamo un decimale finito; nel secondo le cifre da quel punto in poi si ripetono e otteniamo un decimale periodico.
Ogni numero razionale ha una rappresentazione decimale finita oppure periodica. Per esempio,
La barra indica che la cifra \(3\) si ripete senza fine.
Per calcolare \(13\div8\) otteniamo \(1\) con resto \(5\). Aggiungendo uno zero al resto, \(50\div8=6\) con resto \(2\); poi \(20\div8=2\) con resto \(4\) e \(40\div8=5\) con resto zero. Dunque
Se invece il resto ricompare, come nella divisione \(5\div6\), ricompaiono anche le cifre del periodo.
Frazioni e rappresentazioni miste
Una frazione è formata da numeratore, linea di frazione e denominatore. Rappresenta una divisione: \(\frac{a}{b}\) significa \(a\div b\), con \(b\neq0\).
Una frazione propria ha valore assoluto minore di \(1\); una frazione impropria ha numeratore di valore assoluto almeno pari al denominatore. Una frazione impropria positiva può essere riscritta in forma mista:
Dividendo \(17\) per \(5\) otteniamo quoziente \(3\) e resto \(2\):
Per una frazione negativa manteniamo chiaro il segno:
I razionali sulla retta
Ogni numero razionale corrisponde a un punto della retta numerica. Per posizionare \(\frac{3}{4}\), dividiamo l'unità tra \(0\) e \(1\) in quattro parti uguali e scegliamo la terza tacca. Lo stesso punto può avere molti nomi: \(\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=0{,}75\).
Tra due numeri razionali distinti esistono infiniti altri numeri razionali. Per trovarne subito uno basta calcolare la loro media. Tra \(\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{2}\), per esempio,
Frazioni equivalenti e riduzione
Moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per lo stesso numero diverso da zero non cambiamo il numero rappresentato. Otteniamo però una frazione scritta in modo diverso.
Due frazioni sono equivalenti quando rappresentano lo stesso numero razionale. Per \(b,d\neq0\) vale il criterio del prodotto incrociato:
Una frazione è ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore non hanno divisori comuni maggiori di \(1\). Per ridurla possiamo dividerli per il loro MCD.
Il massimo comune divisore di \(84\) e \(126\) è \(42\). Dividiamo entrambi i termini per \(42\):
La frazione \(\frac{2}{3}\) è il rappresentante più semplice della stessa classe di frazioni.
Confrontare frazioni
Il confronto è immediato quando le frazioni hanno lo stesso denominatore: vince il numeratore maggiore. Se hanno lo stesso numeratore positivo, è maggiore la frazione con denominatore minore. Negli altri casi le trasformiamo in frazioni equivalenti oppure usiamo i prodotti incrociati, mantenendo i denominatori positivi.
Confrontiamo \(\frac{7}{12}\) e \(\frac{5}{8}\). I prodotti incrociati sono
Poiché \(56<60\), segue
Per frazioni negative possiamo prima confrontare i valori assoluti e poi ricordare che, sulla retta, il numero più a sinistra è il minore.
Operazioni con le frazioni
Per addizioni e sottrazioni servono frazioni equivalenti con un denominatore comune. Il minimo comune multiplo dei denominatori rende spesso i calcoli più brevi.
Per \(b,d\neq0\) valgono le regole:
Se \(\frac{c}{d}\neq0\), inoltre,
Il numero \(\frac{d}{c}\) è il reciproco di \(\frac{c}{d}\): moltiplicato per la frazione iniziale sostituisce la divisione con una moltiplicazione. Prima di moltiplicare conviene semplificare numeratori e denominatori in croce.
Per calcolare \(\frac{5}{12}-\frac{7}{18}\) scegliamo il denominatore comune \(36\):
Nel prodotto semplifichiamo prima:
Per il quoziente usiamo il reciproco del divisore:
Proprietà delle operazioni
Le operazioni mostrano anche perché \(\mathbb{Q}\) è un insieme numerico utile: somma, differenza e prodotto di razionali sono ancora razionali; anche il quoziente è razionale quando il divisore è diverso da zero.
Somma e prodotto sono commutativi e associativi, il prodotto è distributivo rispetto alla somma e valgono gli elementi neutri \(0\) e \(1\):
Ogni razionale ha un opposto; ogni razionale non nullo ha anche un reciproco:
Non si sommano numeratori e denominatori: in generale
Inoltre, nella divisione si inverte solo il divisore, mai la prima frazione; il divisore deve essere diverso da zero.
Da frazione a decimale e viceversa
Per trasformare una frazione in decimale eseguiamo la divisione. Per un decimale finito spostiamo la virgola e usiamo una potenza di \(10\) al denominatore:
Dopo aver eliminato la virgola, riduciamo sempre la frazione ai minimi termini.
Per un decimale periodico chiamiamo \(x\) il numero e scegliamo una potenza di \(10\) che faccia coincidere il periodo:
Sia \(x=0{,}\overline{27}\). Moltiplicando per \(100\) otteniamo \(100x=27{,}\overline{27}\). Sottraendo la prima uguaglianza:
Un decimale finito o periodico è razionale; un decimale infinito non periodico, come quello di \(\sqrt{2}\), non è razionale. La distinzione tra razionali e irrazionali sarà approfondita in Numeri reali.
Prova tu
Rappresentazioni dello stesso numero
es-razionali-001Riscrivi \(\frac{17}{8}\) come numero misto e come numero decimale. Indica se il suo sviluppo decimale è finito o periodico.
Un razionale tra due razionali
es-razionali-002Trova un numero razionale compreso tra \(\frac{2}{5}\) e \(\frac{1}{2}\) usando la loro media. Verifica le due disuguaglianze.
Riduzione e confronto
es-razionali-003Riduci \(\frac{42}{56}\) ai minimi termini e confronta il risultato con \(\frac{5}{8}\).
Operazioni con frazioni
es-razionali-004Calcola e riduci ai minimi termini:
Per ripassare la classificazione dei razionali in forme diverse, prova anche l'esercizio collegato nella scheda Numeri e classificazione.
Continua con
- Rapporti, proporzioni e percentuali per applicare i razionali a rapporti e percentuali;
- Numeri reali per introdurre gli irrazionali.
La fonte principale è Matematica Libera, Modulo 1: Insiemi numerici (2023), capitolo 3, sezioni 3.1-3.5 e 3.11. Gli autori indicati sono Bruno Stecca, Daniele Zambelli e gli autori di Matematica Dolce. Questo adattamento editoriale modifica e riorganizza i contenuti della fonte. La fonte originale è distribuita con licenza CC BY-SA 3.0 Italia; questa pagina è distribuita con licenza CC BY-SA 4.0.